偏微分

✍ dations ◷ 2025-04-04 11:19:27 #偏微分
在数学中,一个多变量的函数的偏导数(英语:partial derivative)是它关于其中一个变量的导数,而保持其他变量恒定(相对于全导数,在其中所有变量都允许变化)。偏导数的作用与价值在向量分析和微分几何以及机器学习领域中受到广泛认可。函数 f {displaystyle f} 关于变量 x {displaystyle x} 的偏导数写为 f x ′ {displaystyle f_{x}^{prime }} 或 ∂ f ∂ x {displaystyle {frac {partial f}{partial x}}} 。偏导数符号 ∂ {displaystyle partial } 是全导数符号 d {displaystyle d} 的变体,由阿德里安-马里·勒让德引入,并在雅可比的重新引入后得到普遍接受。假设ƒ是一个多元函数。例如:因为曲面上的每一点都有无穷多条切线,描述这种函数的导数相当困难。偏导数就是选择其中一条切线,并求出它的斜率。通常,最感兴趣的是垂直于y轴(平行于xOz平面)的切线,以及垂直于x轴(平行于yOz平面)的切线。一种求出这些切线的好办法是把其他变量视为常数。例如,欲求出以上的函数在点(1, 1)的与xOz平面平行的切线。右图中显示了函数的图像以及这个平面。左图中显示了函数在平面y = 1上是什么样的。我们把变量y视为常数,通过对方程求导,我们可以发现ƒ在点(x, y)的导数,记为:于是在点(1, 1)的与xOz平面平行的切线的斜率是3。在点(1, 1),或称“ƒ在(1, 1)的关于x的偏导数是3”。函数f可以解释为y为自变量而x为常数的函数:也就是说,每一个x的值定义了一个函数,记为fx,它是一个一元函数。也就是说:一旦选择了一个x的值,例如a,那么f(x,y)便定义了一个函数fa,把y映射到a2 + ay + y2:在这个表达式中,a是常数,而不是变量,因此fa是只有一个变量的函数,这个变量是y。这样,便可以使用一元函数的导数的定义:以上的步骤适用于任何a的选择。把这些导数合并起来,便得到了一个函数,它描述了f在y方向上的变化:这就是f关于y的偏导数,在这里,∂是一个弯曲的d,称为偏导数符号。为了把它与字母d区分,∂有时读作“der”、“del”、“dah”或“偏”,而不是“dee”。一般地,函数f(x1,...,xn)在点(a1,...,an)关于xi的偏导数定义为:在以上的差商中,除了xi以外的所有变量都是固定的。这个固定值的选择决定了一个一元函数 f a 1 , … , a i − 1 , a i + 1 , … , a n ( x i ) = f ( a 1 , … , a i − 1 , x i , a i + 1 , … , a n ) {displaystyle f_{a_{1},ldots ,a_{i-1},a_{i+1},ldots ,a_{n}}(x_{i})=f(a_{1},ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},ldots ,a_{n})} ,根据定义,这个表达式说明了偏导数的计算可以化为一元导数的计算。多变量函数的一个重要的例子,是欧几里德空间Rn(例如R2或R3)上的标量值函数f(x1,...xn)。在这种情况下,f关于每一个变量xj具有偏导数∂f/∂xj。在点a,这些偏导数定义了一个向量:这个向量称为f在点a的梯度。如果f在定义域中的每一个点都是可微的,那么梯度便是一个向量值函数∇f,它把点a映射到向量∇f(a)。这样,梯度便决定了一个向量场。一个常见的符号滥用是在欧几里得空间R3中用单位向量 i ^ , j ^ , k ^ {displaystyle mathbf {hat {i}} ,mathbf {hat {j}} ,mathbf {hat {k}} } 来定义Nabla算子 (∇) 如下:或者,更一般地,对于n维欧几里得空间Rn 的坐标(x1, x2, x3,...,xn)和单位向量( e ^ 1 , e ^ 2 , e ^ 3 , … , e ^ n {displaystyle mathbf {{hat {e}}_{1}} ,mathbf {{hat {e}}_{2}} ,mathbf {{hat {e}}_{3}} ,dots ,mathbf {{hat {e}}_{n}} } ):考虑一个圆锥的体积V;它与高度h和半径r有以下的关系:V关于r的偏导数为:V关于h的偏导数为:现在考虑V关于r和h的全导数。它们分别是:以及现在假设,由于某些原因,高度和半径的比k需要是固定的:这便给出了关于r的全导数:可以化简为:类似地,关于h的全导数是:含有未知函数的偏导数的方程,称为偏微分方程,它在物理学、工程学,以及其它应用科学中经常会见到。与关于r和h二者相关的全导数是由雅可比矩阵给出的,它的形式为梯度向量 ∇ V = ( ∂ V ∂ r , ∂ V ∂ h ) = ( 2 3 π r h , 1 3 π r 2 ) {displaystyle nabla V=({frac {partial V}{partial r}},{frac {partial V}{partial h}})=({frac {2}{3}}pi rh,{frac {1}{3}}pi r^{2})} 。在以下的例子中,设f为x、y和z的函数。f的一阶偏导数为:二阶偏导数为:二阶混合偏导数为:高阶偏导数为:当处理多变量函数时,有些变量可能互相有关,这样就需要明确指定哪些变量是固定的。在诸如统计力学的领域中,f关于x的偏导数,把y和z视为常数,通常记为:像导数一样,偏导数也是定义为一个极限。设U为Rn的一个开子集,f : U → R是一个函数。我们定义f在点a = (a1, ..., an) ∈ U关于第i个变量xi的偏导数为:即使在某个给定的点a,所有的偏导数∂f/∂xi(a)都存在,函数仍然不一定在该点连续。然而,如果所有的偏导数在a的一个邻域内存在并连续,那么f在该邻域内完全可微分,且全导数是连续的。在这种情况下,我们称f是一个C1函数。偏导数 ∂ f ∂ x {displaystyle {frac {partial f}{partial x}}} 可以视为定义在U内的另外一个函数,并可以再次求偏导数。如果所有的混合二阶偏导数在某个点(或集合)连续,我们便称f为在该点(或集合)的一个C2函数;在这种情况下,根据克莱罗定理,偏导数可以互相交换:

相关

  • 多囊性肾病变多囊性肾病变(英语:polycystic kidney disease),又称多囊肾、泡泡肾,多囊性肾病变是一种遗传病的肾病变,人、猫、狗等多种动物都可能发病,其中猫的发病率高达6%。人类的多囊性肾病
  • 泡沫细胞泡沫细胞是一种含有大量脂肪的巨噬细胞。泡沫细胞是导致动脉硬化的一种原因,并可能导致心脏病和脑梗塞。当低密度脂蛋白穿过动脉内膜进入血管壁之间时,胆固醇会在那里堆积。当
  • 疝(Hernia),俗称疝气,其最初的意义是“腹痛”,但后世多特指“少腹坠痛”的狐疝,相当于现代医学的“腹股沟疝”。医学上的疝气指的是器官,例如肠子,经由腔室的孔道离开原先的位置。有
  • 人声人声是通过人类呼吸器官振动产生的声音。关键器官为声带的此种人类行为,通过空气介质传播,并能被人类听觉器官而感知。除此,人声亦与其他声音相同,也是一种波动现象。复杂的人声
  • 颈椎颈椎(cervical vertebrae)是脊椎的第一节。人类的颈椎位于颈部区域,一共有7块颈椎骨。第一节颈椎有一个特别的名称:寰椎(Atlas),取自希腊神话中背负着地球的泰坦巨神阿特拉斯。马的
  • Proceedings of the National Academy of Sciences《美国国家科学院院刊》(英语:Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America,通常简称为 PNAS;PNAS USA)是美国国家科学院的官方学术周刊。
  • 美国核能管理委员会美国核能管理委员会(英语:Nuclear Regulatory Commission,缩写:NRC),或译美国原子能规制委员会,是美国政府设置负责原子能(即核能)相关管理工作的独立机构。该机关于1974年因美国的能
  • 阿穆尔州阿穆尔州(俄语:Аму́рская о́бласть,罗马化:Amurskaya oblast),位于俄罗斯远东地区,黑龙江以北,外兴安岭以南,是远东联邦管区的一个州。面积36.37万平方公里,人口88.1
  • 网状共价键共价键(英语:covalent bond),是化学键的一种。两个或多个非金属原子共同使用它们的外层电子(砷化镓为例外),在理想情况下达到电子饱和的状态,由此组成比较稳定和坚固的化学结构叫做
  • 国道1号中山高速公路,编号为中华民国国道一号(英语译名:Sun Yat-sen Freeway/National Highway No. 1),简称中山高、国道一号,是台湾第一条高速公路,因此一般俗称为“一高”。其连接台湾西