凸函数

✍ dations ◷ 2025-09-19 07:23:33 #各类函数,凸分析,广义凸性

凸函数是具有如下特性的一个定义在某个向量空间的凸子集 C {\displaystyle C} 内的凸函数在内连续,且在除可数个点之外的所有点可微。如果是闭区间,那么有可能在的端点不连续。

一元可微函数在某个区间上是凸的,当且仅当它的导数在该区间上单调不减。

一元连续可微函数在区间上是凸的,当且仅当函数位于所有它的切线的上方:对于区间内的所有和,都有() ≥ () + '() ( − )。特别地,如果 '() = ,那么是()的最小值。

一元二阶可微的函数在区间上是凸的,当且仅当它的二阶导数是非负的;这可以用来判断某个函数是不是凸函数。如果它的二阶导数是正数,那么函数就是严格凸的,但反过来不成立。例如,() = 4的二阶导数是 "() = 12 2,当 = 0时为零,但4是严格凸的。

更一般地,多元二次可微的连续函数在凸集上是凸的,当且仅当它的黑塞矩阵在凸集的内部是半正定的。

凸函数的任何极小值也是最小值。严格凸函数最多有一个最小值。

对于凸函数,水平子集{ | () < }和{ | () ≤ }( ∈ R)是凸集。然而,水平子集是凸集的函数不一定是凸函数;这样的函数称为。

延森不等式对于每一个凸函数都成立。如果 X {\displaystyle X} 的定义域内取值,那么 E ( f ( X ) ) f ( E ( X ) ) . {\displaystyle E(f(X))\geq f(E(X)).} (在这里, E {\displaystyle E} 表示数学期望。)

注意:中国大陆数学界某些机构关于函数凹凸性定义和国外的定义是相反的。Convex Function在某些中国大陆的数学书中指凹函数。Concave Function指凸函数。但在中国大陆涉及经济学的很多书中,凹凸性的提法和其他国家的提法是一致的,也就是和数学教材是反的。举个例子,同济大学高等数学教材对函数的凹凸性定义与本条目相反,本条目的凹凸性是指其上方图是凹集或凸集,而同济大学高等数学教材则是指其下方图是凹集或凸集,两者定义正好相反。另外,也有些教材会把凸定义为上凸,凹定义为下凸。碰到的时候应该以教材中的那些定义为准。

相关

  • 视知觉异常心理学 行为遗传学 生物心理学 心理药物学 认知心理学 比较心理学 跨文化心理学 文化心理学 差异心理学(英语:Differential psychology) 发展心理学 演化心理学 实验心理学
  • 原子半径原子半径通常指原子的尺寸,并不是一个精确的物理量,并且在不同的环境下数值也不同。 一个特定的原子的半径值和所选用的原子半径的定义相关,而在不同的环境下给原子半径不同定
  • 大卡卡路里(Calorie,缩写为cal),简称卡,是一物理学能量单位,其定义为将1克水在1大气压(101.325kPa)下提升1摄氏度所需要的热量。由于科学家发现水在不同温度下的比热容不同,所以衍生了以
  • 玻璃碳玻璃碳(glassy carbon),是结合了玻璃和陶瓷的属性的非石墨化碳。特点是耐高温,高硬度(莫氏硬度7),低密度,低电阻,低摩擦,低导热性,高耐化学侵蚀性,不被气体和液体渗透。 玻璃碳作为电极
  • 亚砜亚砜是含有亚硫酰基(>S=O)官能团的一类有机化合物,可由硫醚氧化得到。常见的亚砜有氯化亚砜、二甲基亚砜、二苯基亚砜等。亚砜的通式为R-S=O-R',其中R和R'是有机基团。亚砜中的
  • 金手指网路奖在1999年成立的金手指网络广告奖,也称作金手指网络奖,是华文界的第一个网络大奖,主要目的是鼓励网络世界的多元创意。金手指网络广告奖一开始,是由中时电子报、PC Home Online、
  • 布布恰恰《布布恰恰》(日语:ぶぶチャチャ)是日本童梦动画公司制作的电视动画。第1辑在1999年4月29日至1999年11月25日播出,第2辑在2001年5月10日至2001年11月29日播出,各有26集,共52集。绿
  • 2,2-二甲基-1-丙醇新戊醇,即2,2-二甲基丙醇,是一种有机化合物,是醇类的一种,其化学式为C5H12O或(H3C-)3C-CH2OH. 它是新戊烷或C(CH3)4的醇类衍生物。他是树脂状的结晶性固体,不像其他醇类那么容易
  • 擅攀鸟龙擅攀鸟龙属(属名:Scansoriopteryx;意为“攀爬的翼”)是种手盗龙类恐龙,它们拥有独特的适应演化特征,并过者树栖生活。目前仅在中国辽宁省发现发现一个未成年个体化石。擅攀鸟龙拥
  • 地狱 (佛教)地狱(梵语:नरक,转写:Naraka,巴利语:निरय,转写:Niraya),音译作捺落迦、那落迦、奈落、泥梨耶、泥梨、泥犁等。佛教宇宙论以此界为轮回流转中最痛苦、最低劣的生存界。众生命终后