劳厄方程式

✍ dations ◷ 2025-08-03 00:19:43 #晶体学,光谱学,放射线学,方程

劳厄方程式,为德国科学家马克斯·冯·劳厄于1912年所提出,劳厄方程式的三个等式,说明了入射光被晶格衍射的情形,简化后可以得到布拉格定律。

考虑三个向量: O A = a {\displaystyle {\overrightarrow {OA}}={\vec {a}}} O B = b {\displaystyle {\overrightarrow {OB}}={\vec {b}}} O C = c {\displaystyle {\overrightarrow {OC}}={\vec {c}}} ,并设 S o {\displaystyle {\vec {\mathbf {S} _{o}}}} S h {\displaystyle {\vec {\mathbf {S} _{h}}}} 分别为入射方向与反射方向的方向单位向量。波分别被面 O 与 A 、 O 与 B 、 O 与 C 衍射(同相)将:

当这三个方程式同时成立,入射波将从(h/n, k/n, l/n)面反射。

这三个方程式可归纳成,当衍射产生时,r . (Sh/λ - So/λ)为整数且满足:

上式说明OH = Sh/λ - So/λ为倒晶格向量,且 h, k, l 为整数,是为衍射产生的倒晶格模式。

由衍射理论导出的 Δ k = G {\displaystyle \Delta k=G} 。可以用劳厄方程给出。劳厄方程之所以有价值,是因为其在几何描述上的优势。劳厄方程有一个简单而清晰的几何诠释。第一个方程告诉我们, Δ k {\displaystyle \Delta k} 将位于以a1为轴的某个圆锥上;第二个方程告诉我们: Δ k {\displaystyle \Delta k} 也将位于以a2为轴的某个圆锥上,第三个方程也要求 Δ k {\displaystyle \Delta k} 位于以a3为轴的某个圆锥上。因此,反射的 Δ k {\displaystyle \Delta k} 必须同时满足这三个方程。这就表明,三个锥必须截交于一条公共的射线,这个条件非常苛刻,只有在非常巧合的情况下才能满足。要得到这种特殊的“巧合”,除开纯粹的偶然性以外,一般则需要对波长或者晶体取向进行连续的扫描、搜索。

请参考P. P. Ewald, 1962, IUCr, 50 Years of X-ray Diffraction, Section 4, page 52.

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