平移对称性

在仿射几何，平移（translation）是将物件的每点向同一方向移动相同距离。它是等距同构，是仿射空间中仿射变换的一种。它可以视为将同一个向量加到每点上，或将坐标系统的中心移动所得的结果。即是说，若 v {displaystyle mathbf {v} } 是一个已知的向量， p {displaystyle mathbf {p} } 是空间中一点，平移 T v ( p ) = p + v {displaystyle T_{mathbf {v} }(mathbf {p} )=mathbf {p} +mathbf {v} } 。将同一点平移两次，结果可用一次平移表示，即 T v ( T u ( p ) ) = T v + u ( p ) {displaystyle T_{mathbf {v} }(T_{mathbf {u} }(mathbf {p} ))=T_{mathbf {v} +mathbf {u} }(mathbf {p} )} ，因此所有平移的集是一个群，称为平移群。这个群和空间同构，又是欧几里德群E(n)的正规子群。T对E的商群与正交群O(n)同构：E(n) / T = O(n)。例如在三维空间，使用齐次坐标， T v {displaystyle T_{mathbf {v} }} 可用矩阵表示为平移的结果 T v ( p ) {displaystyle T_{mathbf {v} }(mathbf {p} )} 就是平移的逆矩阵： T v − 1 = T − v {displaystyle T_{mathbf {v} }^{-1}=T_{-mathbf {v} }} 。两个平移矩阵的积就是两次平移的结果： T u T v = T u + v {displaystyle T_{mathbf {u} }T_{mathbf {v} }=T_{mathbf {u} +mathbf {v} }} 。因为向量加法符合交换律，所以平移群不像一般矩阵乘法，平移矩阵乘法是可交换的。