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平移对称性
✍ dations ◷ 2025-07-07 08:45:03 #平移对称性
在仿射几何,平移(translation)是将物件的每点向同一方向移动相同距离。它是等距同构,是仿射空间中仿射变换的一种。它可以视为将同一个向量加到每点上,或将坐标系统的中心移动所得的结果。即是说,若
v
{displaystyle mathbf {v} }
是一个已知的向量,
p
{displaystyle mathbf {p} }
是空间中一点,平移
T
v
(
p
)
=
p
+
v
{displaystyle T_{mathbf {v} }(mathbf {p} )=mathbf {p} +mathbf {v} }
。将同一点平移两次,结果可用一次平移表示,即
T
v
(
T
u
(
p
)
)
=
T
v
+
u
(
p
)
{displaystyle T_{mathbf {v} }(T_{mathbf {u} }(mathbf {p} ))=T_{mathbf {v} +mathbf {u} }(mathbf {p} )}
,因此所有平移的集是一个群,称为平移群。这个群和空间同构,又是欧几里德群E(n)的正规子群。T对E的商群与正交群O(n)同构:E(n) / T = O(n)。例如在三维空间,使用齐次坐标,
T
v
{displaystyle T_{mathbf {v} }}
可用矩阵表示为平移的结果
T
v
(
p
)
{displaystyle T_{mathbf {v} }(mathbf {p} )}
就是平移的逆矩阵:
T
v
−
1
=
T
−
v
{displaystyle T_{mathbf {v} }^{-1}=T_{-mathbf {v} }}
。两个平移矩阵的积就是两次平移的结果:
T
u
T
v
=
T
u
+
v
{displaystyle T_{mathbf {u} }T_{mathbf {v} }=T_{mathbf {u} +mathbf {v} }}
。因为向量加法符合交换律,所以平移群不像一般矩阵乘法,平移矩阵乘法是可交换的。
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