数域

数域是近世代数学中常见的概念，指对加减乘除四则运算封闭的代数系统。通常定义的数域是指复数域${\displaystyle \mathbb{C}}$的子域。“数域”一词有时也被用作代数数域的简称，但两者的定义有细微的差别。

设${\displaystyle \mathcal{P}}$是复数域${\displaystyle \mathbb{C}}$的子集。若${\displaystyle \mathcal{P}}$中包含0与1，并且${\displaystyle \mathcal{P}}$中任两个数的和、差、乘积以及商（约定除数不为0）都仍在${\displaystyle \mathcal{P}}$中，就称${\displaystyle \mathcal{P}}$为一个数域:101。用域论的话语来说，复数域的子域是为数域:5。

任何数域都包括有理数域${\displaystyle \mathbb{Q}}$:103:5，但并不一定是${\displaystyle \mathbb{Q}}$的有限扩张，因此数域不一定是代数数域。例如实数域${\displaystyle \mathbb{R}}$和复数域${\displaystyle \mathbb{C}}$都不是代数数域。反之，每个代数数域都同构于某个数域。

除了常见的实数域${\displaystyle \mathbb{R}}$和复数域${\displaystyle \mathbb{C}}$以外:5，通过在有理数域中添加特定的无理数进行扩张得到的扩域也是数域。例如所有形同：

的数的集合，就是一个数域。可以验证，任何两个这样的数，它们的和、差、乘积以及商（约定除数不为0）都能写成${\displaystyle a+b\sqrt{2}}$的形式，故仍然在集合之中:102。这个集合记作${\displaystyle \mathbb{Q}(\sqrt{2})}$，是有理数域${\displaystyle \mathbb{Q}}$的二次扩域。

可构造数也叫规矩数，指的是从给定的单位长度开始，能够通过有限次标准的尺规作图步骤做出的长度数值。所有可构造数的集合记为${\displaystyle \mathcal{C}}$，是一个数域:160-161。因为给定了两个已经做出的线段后，可以通过符合尺规作图规定的手段，在有限步内作出长度为两者长度之和、差、乘积以及商的线段。${\displaystyle \mathcal{C}}$是${\displaystyle \mathbb{Q}}$的扩域，次数为无限大，是实数域${\displaystyle \mathbb{R}}$的子域:161。

代数数指能够成为某个有理系数多项式的根的数。所有代数数的集合记作${\displaystyle \mathcal{A}}$，是一个数域。${\displaystyle \mathcal{A}}$也常被称为代数数域，但与定义为“${\displaystyle \mathbb{Q}}$的有限扩张”的代数数域是不同的概念。不过，每个${\displaystyle \mathbb{Q}}$的有限扩张生成的域都可看作是${\displaystyle \mathbb{Q}}$中加入某个代数数扩成的，所以都是${\displaystyle \mathcal{A}}$的子域。可构造数构成的数域${\displaystyle \mathcal{C}}$也是${\displaystyle \mathcal{A}}$的子域。由于虚数单位i也是代数数，所以${\displaystyle \mathcal{A}}$不是${\displaystyle \mathbb{R}}$的子域。另一方面，自然对数的底e以及圆周率π都不是代数数，所以${\displaystyle \mathbb{R}}$也不是${\displaystyle \mathcal{A}}$的子域。