精细结构

在原子物理学里，因为一阶相对论性效应，与自旋-轨道耦合，而产生的原子谱线分裂，称为精细结构。

非相对论性、不考虑自旋的电子产生的谱线称为粗略结构。类氢原子的粗略结构只与主量子数${\displaystyle n}$有关；更精确的模型，考虑到相对论效应与自旋-轨道效应，能够分解能级的简并，使谱线能更精细地分裂。相对于粗略结构，精细结构是一个${\displaystyle (Z\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{)}^2}$效应；其中，${\displaystyle Z}$是原子序数，${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$是精细结构常数。

精细结构修正包括相对论性的动能修正与自旋-轨道修正。整个哈密顿量${\displaystyle H}$是

其中，${\displaystyle H^{(0)}}$是零摄动哈密顿量，${\displaystyle H_{kinetic}}$是动能修正，${\displaystyle H_{so}}$是自旋-轨道修正。

经典哈密顿量的动能项目是

其中，${\displaystyle T}$是动能，${\displaystyle p}$是动量，${\displaystyle m}$是质量。

可是，若加入狭义相对论的效应，我们必须使用相对论形式的动能：

其中，${\displaystyle c}$是光速。

请注意在这方程的右手边，平方根项目是总相对论性能量，${\displaystyle m{c}^2}$项目是电子的静能量。假设${\displaystyle p\ll <!--\; \ll \; -->mc}$，则可以用泰勒级数展开平方根项目：

哈密顿量的动能修正是

将这修正当作一个小摄动，根据量子力学的摄动理论，我们可以计算出相对论性的一阶能量修正${\displaystyle E_n^{(1)}}$：

其中，${\displaystyle n}$是主量子数，零摄动波函数${\displaystyle {\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_n^{(0)}}$是本征能量为${\displaystyle E_n^{(0)}}$的本征函数，${\displaystyle E_n^{(0)}=-<!--\; -\; -->\frac{Z^2{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^{2}m{c}^2}{2n^2}}$，精细结构常数${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{e^2}{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_0\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}c}}$。

回想零摄动哈密顿量${\displaystyle H^{(0)}}$与${\displaystyle {\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_n^{(0)}}$的关系方程：

零摄动哈密顿量等于动能加上势能${\displaystyle V}$：

将势能移到公式右手边：

将这结果代入${\displaystyle E_n^{(1)}}$的公式：

类氢原子的势能是${\displaystyle V=\frac{Z{e}^2}{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_{0}r}}$；其中，${\displaystyle e}$是单位电荷量，${\displaystyle r}$是径向距离。经过一番繁琐的运算，可以得到

其中，${\displaystyle a_0=\frac{\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}mc}}$是玻尔半径，${\displaystyle l}$是角量子数。

将这两个结果代入，经过一番运算，可以得到相对论修正：

当我们从标准参考系（原子核的静止参考系；原子核是不动的，电子运动于它环绕着原子核的轨道）改变至电子的静止参考系（电子是不动的，原子核运动于它环绕着电子的轨道）时，我们会遇到自旋-轨道修正。在这状况，运动中的原子核有效地形成了一个电流圈，这会产生磁场${\displaystyle \mathbf{B}}$ ．可是，因为电子的自旋，电子自己拥有磁矩${\displaystyle \mathit{\mu <!--\; \mu \; -->}}$。两个磁矢量${\displaystyle \mathbf{B}}$与${\displaystyle \mathit{\mu <!--\; \mu \; -->}}$共同耦合．这使得哈密顿量内，又添加了一个项目：

其中，${\displaystyle {\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_0}$是真空电容率，${\displaystyle \mathbf{L}}$是角动量，${\displaystyle \mathbf{S}}$是自旋。

设定总角动量${\displaystyle \mathbf{J}=\mathbf{L}+\mathbf{S}}$。应用一阶摄动理论，由于${\displaystyle H_{so}}$、${\displaystyle J^2}$、${\displaystyle L^2}$、${\displaystyle S^2}$，这四个算符都互相对易。${\displaystyle H^{(0)}}$、${\displaystyle J^2}$、${\displaystyle L^2}$、${\displaystyle S^2}$，这四个算符也都互相对易。这四个算符的共同本征函数可以被用为零摄动波函数${\displaystyle |n,j,l,s⟩<!--\; ⟩\; -->}$；其中，${\displaystyle j}$是总角量子数，${\displaystyle s}$是自旋量子数。那么，经过一番运算，可以得到能级位移

相对论性修正与自旋-轨道修正的总和是

其中，${\displaystyle j=l\pm <!--\; \pm \; -->1/2}$。

将${\displaystyle j}$的这两个数值分别代入总合方程里，经过一番运算，可以得到同样的结果：

总结，修正后，取至一阶，电子的总能级为，

其中，${\displaystyle E_1^{(0)}=-<!--\; -\; -->13.6ev}$是电子的基态能级，${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\approx <!--\; \approx \; -->\frac{1}{137}}$是精细结构常数。

从狄拉克方程直接求解得到的结果是：

其一阶近似就是上面的结果。