离散空间

✍ dations ◷ 2025-09-11 18:53:02 #点集拓扑学,拓扑空间性质

在拓扑学和相关数学领域中,离散空间是特别简单的一种拓扑空间,在其中点都在特定意义下是相互孤立的。

给定集合:

对于任何 x , y X {displaystyle x,yin X}  := {1/ :  = 1,2,3,...} (带有从实直线继承来的度量,并给出为d(,) = | − |)。明显的,这不是离散度量;还有这个空间不是完备的并因袭作为一致空间不是离散的。然而它作为拓扑空间是离散的。我们称是“拓扑离散”而非“一致离散”或“度量离散”。

此外还有:

任何从离散拓扑空间到另一个拓扑空间的函数是连续函数,任何从离散一致空间到另一个一致空间的函数是一致连续的。就是说,在拓扑空间和连续映射范畴中,或在一致空间和一致连续映射范畴内,离散空间是集合上的自由对象。这些性质是更广泛现象的实例,在其中离散结构通常自由于集合上。

对于度量空间,事情更加复杂,因为依赖于所选择的态射有很多度量空间范畴。离散度量空间当然是自由的,在态射都是一致连续映射或连续映射的时候,但是这没有说对度量结构有价值的事情,只针对了一致或拓扑结构。与度量结构更有关的范畴可以通过把态射限制为利普希茨连续映射或短映射来找到;但是,这些范畴没有自由对象(在多于一个元素的时候)。但是,离散度量空间在有界度量空间和利普希茨连续映射范畴内是自由的,并且它在有界于1的度量空间和短映射范畴是自由的。就是说,从离散度量空间到另一个有界度量空间的函数是利普希茨连续的,而任何从离散度量空间到另一个有界于1的度量空间的函数是短映射。

在其他方向上,从拓扑空间到离散空间的函数是连续的,当且仅当它是局部常数函数,在所有的点都有在其上的邻域是常数的意义上。

离散结构通常用做不承载任何其他自然拓扑、一致或度量的集合上“缺省结构”。例如,任何群都可以通过给予它离散拓扑被认为是拓扑群,蕴涵了关于拓扑群适用于所有群的定理。实际上,分析学家更偏好被代数学家作为离散群来研究的平常的非拓扑群。在某些情况下,这可有用的应用,例如组合上Pontryagin对偶性。

0维流形(或微分流形或解析流形)就只是离散拓扑空间。在前面段落的精神下,我们可以把任何离散群看作0维李群。

尽管离散空间从拓扑学的角度看没有什么令人兴奋的,可以却可以从它们构造有趣的空间。例如,可数无限多个自然数离散空间的乘积同胚于无理数空间,带有同胚给出自连分数展开。可数多个离散空间{0,1}的乘积同胚于康托尔集合;并且事实上一致同胚于康托尔集合,如果我们在乘积上使用乘积一致。这种同胚给出自数字的三进制表示。(参见康托尔空间)。

在数学基础中,{0,1}乘积的紧致性质的研究是超滤子原理的拓扑途径的中心,它是弱形式的选择公理。

在某种意义上,离散拓扑的对立者是密着拓扑(也叫做“不可分拓扑”),它有最少可能数目的开集(就是空集和空间自身)。这里的离散拓扑是始对象和自由对象,而不可分拓扑是终对象或cofree对象:所有从拓扑空间到不可分空间的函数都是连续的。


邻域  · 内部  · 边界  · 外部  · 极限点  · 孤点

相关

  • 高雄新报《高雄新报》是日治时期台湾所发行的一份日报,创立于1934年4月15日,曾任社长者包括高桥传吉,本社位在高雄市山下町。经营者也包括杉本三郎等。1938年10月时有平均日发行量9600
  • ASIMOASIMO(日语:アシモ)是日本本田技研工业所开发的类人型机器人,站立时约130公分,重54公斤。ASIMO外型酷似一位背着背包的太空人,而且可以时速6公里的速度前进。ASIMO是从一系列的本
  • 林投林投(学名:),古作菻荼,别称露兜树、野菠萝、假菠萝等,为露兜树科露兜树属下的一个物种,原产于马来界,澳大利亚东部及太平洋三大岛群。林投具耐风、耐盐的特质,且繁殖容易,是台湾常见的
  • 2005年东南亚运动会棒球比赛2005年东南亚运动会的棒球比赛是首届东南亚运动会棒球比赛。本届赛事于2005年11月28日至12月4日于菲律宾马尼拉马拉特区(Malate)的黎刹纪念体育场馆(Rizal Memorial Sports Com
  • 杰夫·巴克利杰佛瑞·史考特·巴克利(英语:Jeffrey Scott Buckley,1966年11月17日-1997年5月29日),普遍被称作杰夫·巴克利(Jeff Buckley),小名小史·穆尔黑德(Scott Moorhead),美国创作歌手、吉他手
  • 町野武马町野武马(日语:町野武馬 1875年11月16日-1968年1月10日)日本陆军军人、政治家,曾担任中国奉系军阀张作霖的顾问,众议院议员,参与日俄战争,旅顺会战中负伤,辛亥革命时期支持张作霖,推行
  • 神性写作神性写作作为一种创作的倾向,主要体现在诗歌作品对主观意识中的绝对真理的追求,在诗歌中灵魂的位置是最重要的。作为反后现代主义写作的创作倾向,神性写作的特点是在写作中表达
  • 2010-2011年西南印度洋热带气旋季2010-2011年西南印度洋热带气旋季在2010年11月15日开始,并在2011年4月30日完结(某些地区的热带气旋季在2011年5月15日完结)。此文内容只包含在西南印度洋形成的热带气旋的介绍。
  • 大桥河 (柳江)大桥河,位于中国广西壮族自治区北部,是柳江右岸支流,发源于柳江县里高镇拉洪村,东北流经三都镇,在成团镇里眷村西转东流,过柳江县城拉堡镇南进入柳州市,最后在柳州市南郊鱼峰区五里
  • 克莱普格里希峰克莱普格里奇峰 (也称为 )是利旁廷阿尔卑斯山脉的一座山峰,坐落在瑞士的格劳宾登州的瓦尔斯和萨芬 之间。