辛群

无限单李群：A_n, B_n, C_n, D_n,
特殊单李群 G₂（英语：G2 (mathematics)） F₄E₆ E₇E₈（英语：E8 (mathematics)）

其他有限群
对称群,
二面体群,
无限群
整数, Z
模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z)

G₂ F₄E₆ E₇E₈
劳仑兹群
庞加莱群

环路群
量子群
O(∞) SU(∞) Sp(∞)

在数学中，辛群可以指涉两类不同但关系密切的群。在本条目中，我们分别称之为Sp(2n,F)与Sp(n)。后者有时也被称作紧致辛群以资区别。许多作者偏好不同的记法，通常是差个二的倍数。本条目采用的记法与矩阵的大小相称。

域F上次数为2n的辛群是由2n阶辛矩阵在矩阵乘法下构成的群，记为Sp(2n,F)。由于辛矩阵之行列式恒等于一，此群是SL(2n,F)的子群。

抽象而言，辛群可定义为F上一个2n维向量空间上保存一个非退化、斜对称双线性形的所有可逆线性变换。带有这种双线性形的向量空间称为辛向量空间。一个辛向量空间V产生的辛群记为Sp(V)。

当n=1，有Sp(2,F)=SL(2,F)，当n>1时，Sp(2n,F)是SL(2n,F)的真子群。

通常将域F取为实数域${\displaystyle \mathbb{R}}$、复数域${\displaystyle \mathbb{C}}$或非阿基米德局部域，如p进数域${\displaystyle {\mathbb{Q}}_p}$。此时辛群Sp(2n,F)是维度等于${\displaystyle n(2n+1)}$的连通代数群。${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{p}(2n,\mathbb{C})}$是单连通的，而${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{p}(2n,\mathbb{R})}$的基本群则同构于${\displaystyle \mathbb{Z}}$。

${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{p}(2n,F)}$的李代数可以刻划为满足下列条件的2n阶方阵${\displaystyle A}$：

其中${\displaystyle A^T}$表示${\displaystyle A}$的转置矩阵，而${\displaystyle \mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}$是下述反对称矩阵

紧辛群 ${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{p}(n)}$ 定义为 ${\displaystyle {\mathrm{H}}^n}$（${\displaystyle \mathbb{H}}$表四元数）上保持标准埃尔米特形式

之可逆线性变换。换言之，${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{p}(n)}$ 即四元数上的酉群${\displaystyle \mathrm{U}(n,\mathbb{H})}$。有时此群也被称为超酉群。${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{p}(1)}$ 即单位四元数构成之群，拓扑上同胚于三维球 ${\displaystyle {\mathbb{S}}^3}$。

${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{p}(n)}$ 并不同构于之前定义的 ${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{p}(2n,\mathbb{R})}$。下节将解释其间的联系。

${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{p}(n)}$ 是 ${\displaystyle n(2n+1)}$ 维之紧致、连通、单连通实李群，并满足

其李代数由满足下述关系的 n 阶四元数矩阵构成

其中 ${\displaystyle A^{†<!--\; †\; -->}}$ 是 ${\displaystyle A}$ 的共轭转置（在此取四元数之共轭运算）。李括积由矩阵之交换子给出。

紧辛群 ${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{p}(n)}$ 有时称为酉辛群，记为 ${\displaystyle \mathrm{U}\mathrm{S}\mathrm{p}(2n)}$

以上定义之${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{p}(2n,\mathbb{R})}$与${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{p}(n)}$之李代数在复化后给出相同的单李代数。此李代数记作${\displaystyle C_n}$。此李代数也就是复李群${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{p}(2n,\mathbb{C})}$之李代数，记作${\displaystyle \mathrm{s}\mathrm{p}(2n,\mathbb{C})}$。它有两个不同的实形式：