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递归集合
✍ dations ◷ 2025-12-07 22:58:36 #递归集合
在可计算性理论中,一个自然数的子集被称为递归的、可计算的或具可判定性,如果我们可以构造一个算法,使之能在有限时间内终止并判定一个给定元素是否属于这个集合。更一般的集合的类叫做递归可枚举集合。这些集合包括递归集合,对于这种集合,只需要存在一个算法,当某个元素位于这个集合中时,能够在有限时间内给出正确的判定结果,但是当元素不在这个集合中时,算法可能会永远运行下去(但不会给出错误答案)。自然数的子集 S 被称为递归的,如果存在一个全可计算函数使得换句话说,集合 S 是递归的,当且仅当指示函数
1
S
{displaystyle 1_{S}}
是可计算的。如果
A
{displaystyle A}
是递归集合,则
A
{displaystyle A}
的补集是递归集合。
如果
A
{displaystyle A}
和
B
{displaystyle B}
是递归集合,则
A
∩
B
{displaystyle Acap B}
、
A
∪
B
{displaystyle Acup B}
和
A
×
B
{displaystyle Atimes B}
是递归集合。集合
A
{displaystyle A}
是递归集合,当且仅当
A
{displaystyle A}
和
A
{displaystyle A}
的补集是递归可枚举集合。一个递归集合在全可计算函数下的原像(preimage)是递归集合。
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