递归集合

在可计算性理论中，一个自然数的子集被称为递归的、可计算的或具可判定性，如果我们可以构造一个算法，使之能在有限时间内终止并判定一个给定元素是否属于这个集合。更一般的集合的类叫做递归可枚举集合。这些集合包括递归集合，对于这种集合，只需要存在一个算法，当某个元素位于这个集合中时，能够在有限时间内给出正确的判定结果，但是当元素不在这个集合中时，算法可能会永远运行下去（但不会给出错误答案）。自然数的子集 S 被称为递归的，如果存在一个全可计算函数使得换句话说，集合 S 是递归的，当且仅当指示函数 1 S {displaystyle 1_{S}} 是可计算的。如果 A {displaystyle A} 是递归集合，则 A {displaystyle A} 的补集是递归集合。 如果 A {displaystyle A} 和 B {displaystyle B} 是递归集合，则 A ∩ B {displaystyle Acap B} 、 A ∪ B {displaystyle Acup B} 和 A × B {displaystyle Atimes B} 是递归集合。集合 A {displaystyle A} 是递归集合，当且仅当 A {displaystyle A} 和 A {displaystyle A} 的补集是递归可枚举集合。一个递归集合在全可计算函数下的原像（preimage）是递归集合。