多项式定理

✍ dations ◷ 2025-08-14 10:57:22 #数学公式,代数,代数定理,组合数学,阶乘与二项式主题

多项式定理为二项式定理的推广。 $t=2$ $t=2$ 时为二项式定理。

$(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{t})^{n}=\sum {\frac {n!}{n_{1}!n_{2}!\cdots n_{t}!}}x_{1}^{n_{1}}x_{2}^{n_{2}}\cdots x_{t}^{n_{t}}$ $(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{t})^{n}=\sum {\frac {n!}{n_{1}!n_{2}!\cdots n_{t}!}}x_{1}^{n_{1}}x_{2}^{n_{2}}\cdots x_{t}^{n_{t}}$

其中 $n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{t}=n$ $n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{t}=n$ 、 $0\leq n_{i}\leq n$ $0\leq n_{i}\leq n$

$n_{1},n_{2},n_{3}\cdots n_{t}$ $n_{1},n_{2},n_{3}\cdots n_{t}$ 是指一切满足上述条件的非负数组合。由隔板法可知该多项式展开共有 ${\frac {(n+t-1)!}{n!(t-1)!}}$ ${\frac {(n+t-1)!}{n!(t-1)!}}$ 项。

对元数t做归纳：当t=2时，原式为二项式定理，成立。假设对t-1元成立，则：

从 $n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{t}=n$ $n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{t}=n$ 中选 $n_{i}$ $n_i$ 个 $x_{i}$ $x_{i}$ ：

$\displaystyle {\binom {n}{n_{1}}}{\binom {n-n_{1}}{n_{2}}}{\binom {n-n_{1}-n_{2}}{n_{3}}}\cdots {\binom {n-n_{1}-n_{2}-\cdots -n_{t-1}}{n_{t}}}$ $\displaystyle {\binom {n}{n_{1}}}{\binom {n-n_{1}}{n_{2}}}{\binom {n-n_{1}-n_{2}}{n_{3}}}\cdots {\binom {n-n_{1}-n_{2}-\cdots -n_{t-1}}{n_{t}}}$

$={\frac {n!(n-n_{1})!(n-n_{1}-n_{2})!\cdots (n-n_{1}-n_{2}-\cdots -n_{t-1})!}{n_{1}!(n-n_{1})!n_{2}!(n-n_{1}-n_{2})!n_{3}!(n-n_{1}-n_{2}-n_{3})!\cdots n_{t}!(n-n_{1}-n_{2}-\cdots -n_{t})!}}={\frac {n!}{n_{1}!n_{2}!n_{3}!\cdots n_{t}!}}$ $={\frac {n!(n-n_{1})!(n-n_{1}-n_{2})!\cdots (n-n_{1}-n_{2}-\cdots -n_{t-1})!}{n_{1}!(n-n_{1})!n_{2}!(n-n_{1}-n_{2})!n_{3}!(n-n_{1}-n_{2}-n_{3})!\cdots n_{t}!(n-n_{1}-n_{2}-\cdots -n_{t})!}}={\frac {n!}{n_{1}!n_{2}!n_{3}!\cdots n_{t}!}}$
证毕.

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