多项式定理

多项式定理为二项式定理的推广。${\displaystyle t=2}$ 时为二项式定理。

${\displaystyle (x_1+x_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+x_t{)}^n=\sum <!--\; \sum \; -->\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots <!--\; \cdots \; -->n_t!}{x}_1^{n_1}{x}_2^{n_2}\cdots <!--\; \cdots \; -->x_t^{n_t}}$

其中 ${\displaystyle n_1+n_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+n_t=n}$、${\displaystyle 0\le <!--\; \le \; -->n_i\le <!--\; \le \; -->n}$

${\displaystyle n_1,n_2,n_3\cdots <!--\; \cdots \; -->n_t}$ 是指一切满足上述条件的非负数组合。由隔板法可知该多项式展开共有 ${\displaystyle \frac{(n+t-<!--\; -\; -->1)!}{n!(t-<!--\; -\; -->1)!}}$ 项。

对元数t做归纳：当t=2时，原式为二项式定理，成立。 假设对t-1元成立，则：

从${\displaystyle n_1+n_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+n_t=n}$中选${\displaystyle n_i}$个${\displaystyle x_i}$：

${\displaystyle {\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n_1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-<!--\; -\; -->n_1}{n_2})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-<!--\; -\; -->n_1-<!--\; -\; -->n_2}{n_3})\cdots <!--\; \cdots \; -->(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-<!--\; -\; -->n_1-<!--\; -\; -->n_2-<!--\; -\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->-<!--\; -\; -->n_{t-<!--\; -\; -->1}}{n_t})}}$

${\displaystyle =\frac{n!(n-<!--\; -\; -->n_1)!(n-<!--\; -\; -->n_1-<!--\; -\; -->n_2)!\cdots <!--\; \cdots \; -->(n-<!--\; -\; -->n_1-<!--\; -\; -->n_2-<!--\; -\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->-<!--\; -\; -->n_{t-<!--\; -\; -->1})!}{n_1!(n-<!--\; -\; -->n_1)!n_2!(n-<!--\; -\; -->n_1-<!--\; -\; -->n_2)!n_3!(n-<!--\; -\; -->n_1-<!--\; -\; -->n_2-<!--\; -\; -->n_3)!\cdots <!--\; \cdots \; -->n_t!(n-<!--\; -\; -->n_1-<!--\; -\; -->n_2-<!--\; -\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->-<!--\; -\; -->n_t)!}=\frac{n!}{n_1!n_2!n_3!\cdots <!--\; \cdots \; -->n_t!}}$
证毕.