阿贝尔-鲁菲尼定理

阿贝尔-鲁菲尼定理是代数学中的重要定理。它指出，五次及更高次的多项式方程没有一般的求根公式，即不是所有这样的方程都能由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根。这个定理以保罗·鲁菲尼和尼尔斯·阿贝尔命名。前者在1799年给出了一个不完整的证明，后者则在1824年给出了完整的证明。埃瓦里斯特·伽罗瓦创造了群论，独立地给出了更广泛地判定多项式方程是否拥有根式解的方法，并给出了定理的证明，但直到他死后的1846年才得以发表。

阿贝尔-鲁菲尼定理并不是说明五次或更高次的多项式方程没有解。事实上代数基本定理说明任意非常数的多项式在复数域中都有根:50。然而代数基本定理并没有说明根的具体形式。通过数值方法可以计算多项式的根的近似值，但数学家也关心根的精确值，以及它们能否通过简单的方式用多项式的系数来表示。例如，任意给定二次方程${\displaystyle a{x}^2+bx+c=0(a\ne <!--\; \ne \; -->0)}$1⁄₅也可以表达为根的有理式。这一步结果也是鲁菲尼假设而未证明的:90-92。

其后的一步是证明的核心。阿贝尔使用柯西的思想，揭露了r作为根的有理式和系数的无理式之间的根本矛盾：如果r，作为由方程的五个根的有理式，在方程的根取遍120个可能置换时只有少于5个的取值，那么它的取值个数是1或者2，而不可能是3或4。这个结果在群论中可以用${\displaystyle {\mathfrak{S}}_5}$1⁄₅在所有置换下不可能只有一个值，否则方程只会有一个根，矛盾。其次，1⁄₅在所有置换下也不可能有5个或以上的取值，否则迭代之下，取值个数会升至120个，即方程有120个根，矛盾。而最后，对1⁄₅在所有置换下恰有两个取值的情况，阿贝尔构造了一个等式，其左侧在所有置换下取值有120个而右侧只有10个，同样导致矛盾。而如前已经证明取值不可能是3个或4个。这说明在任意情况下，求根公式都会导致矛盾，从而说明求根公式并不存在:92-94。

阿贝尔在给出了五次或以上多项式方程求根公式不存在的证明后，开始研究可以通过开方求解的某些特殊类型高次多项式方程。但阿贝尔的研究随着他病逝而中断:98-102。不过，在同一时期，法国的伽罗瓦运用深刻的洞察力，用更为抽象的方式，给出了“哪些多项式方程可以通过开方求解”的完整判别方法。伽罗瓦使用的是现今称为群论的代数工具，将根的置换集合作为群来考虑，将多项式方程可解转化为群的特性:144。伽罗瓦的结果在其生前并没有得到重视，在他去世后，才逐渐被数学界发现。

伽罗瓦创造了群论来解决代数方程可解判定性的问题。此后阿廷等人建立了环和域扩张的理论。现代伽罗瓦理论中，使用域扩张的伽罗瓦群理论来证明阿贝尔-鲁菲尼定理。

域扩张理论将代数方程的求解过程转化为特定的域扩张来描述。给定特征为0的系数域K。设有以K中元素为系数的多项式P。将P的根添加到系数域K中，包含它们的“最小”的域称为P的分裂域，记为L:1。方程求解的过程，可以看作是“已知量”的集合从系数域K扩张到分裂域L的过程。另一方面，考察四则运算和开方所能生成的“新数量”。由于域对四则运算封闭，所以能够使得“已知量”增多的本质操作是开方运算。给定K中元素a，对a开m次方等价于将a的m个m次方根作为“已知量”添加到原来的域中，扩张为“更大”的域K'的过程。而多项式P可以用求根公式求解（以下简称可解），等价于说可以通过有限次地添加方根，将系数域K扩张为某个包含分裂域L的扩域。即:145-146:435:215：

而其中ζ_i是F_i中某个元素的方根：

另一方面，考虑L中所有在K上平凡的自同构（称为K-自同构）:1。这些自同构不改变系数，只将P的根映射到另外一个根上，并且完全由它们在P的根上的变换情况决定，可以看作是仅仅针对根的置换。这些K-自同构构成一个群，称为域扩张L/K的伽罗瓦群或P在K上的伽罗瓦群:413。

通过一些技术处理，可以将可解多项式对应的域扩张“塔”${\displaystyle F_0\subset <!--\; \subset \; -->F_1\subset <!--\; \subset \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->\subset <!--\; \subset \; -->K_n}$加强为：${\displaystyle F_0\subset <!--\; \subset \; -->F_1}$是添加单位根的伽罗瓦扩张，其后的每个扩张都是伽罗瓦扩张，且对应的伽罗瓦群是循环群。通过伽罗瓦理论基本定理，可以推出：P在K上可解，等价于说它在K上的伽罗瓦群包含一个一直递减到平凡子群的正规子群列，而且相邻的两个子群的商群是交换群。这样的群称为可解群:146-148。可以证明，如果某个群可解，那么其任一正规子群以及其对应的商群都可解:436。

给定K上一个一般的五次多项式，它在K上的伽罗瓦群是${\displaystyle {\mathfrak{S}}_5}$:150，而${\displaystyle {\mathfrak{S}}_5}$不是交换群，它唯一的非平凡正规子群只有n次交替群${\displaystyle {\mathfrak{A}}_5}$。而${\displaystyle {\mathfrak{A}}_5}$是单群，它的正规子群只有平凡子群。而这时候${\displaystyle {\mathfrak{A}}_5}$对平凡子群的商群（即它自身）不是交换群。所以${\displaystyle {\mathfrak{S}}_5}$不是可解群。因此一般的五次多项式代数方程不可解:436。

对于一般的更高次的多项式，使用类似的论证，可以从${\displaystyle {\mathfrak{A}}_n}$（n大于5）是不交换单群的事实推出，一般的n次（n大于5）多项式代数方程不可解:439:213。