稳定小波转换

稳定小波转换(Stationary Wavelet Transform, SWT)是小波分析(Wavelet Analysis)的一种转换，为离散小波变换(Discrete Wavelet Transform, DWT)的变形。

稳定小波转换可以弥补离散小波转换因为缩减取样(Downsampling)而失去的平移不变性(Translation-invariant)。稳定小波转换不同于离散小波转换的部分，主要在于经过每一阶的高通滤波器和低通滤波器之后，是将滤波器提升取样(Upsampling)，取代离散小波转换在经过滤波器之后的缩减取样。

稳定小波转换是做数据和信号的分析一种很好的工具，尽管它的运算量会因为没有缩减取样而较离散小波转换多一些，但其具有平移不变性，且只需将离散小波转换在滤波器的设计上做些微的修改即可实现。

下图是稳定小波转换的数位实现模型

每一组高通滤波器和低通滤波器皆为提升取样后的前一组高通滤波器及低通滤波器，可以下图表示：

以数学形式来呈现稳定小波转换滤波器提升取样的设计概念:

令${\displaystyle Z}$为一将${\displaystyle 0}$加入${\displaystyle x}$序列的运算，

${\displaystyle (Z_x{)}_k}$${\displaystyle =x_{k/2},}$ for ${\displaystyle k=2,4,6,\mathrm{8...}}$

${\displaystyle (Z_x{)}_k}$${\displaystyle =0,}$ for ${\displaystyle k=1,3,5,\mathrm{7...}}$

我们可以将第${\displaystyle j}$阶的高通滤波器${\displaystyle h_j}$表示成:
${\displaystyle h_j=Z{h}_{j-<!--\; -\; -->1}=Z^2{h}_{j-<!--\; -\; -->2}=...=Z^{j-<!--\; -\; -->1}{h}_1}$
同样的，我们可以将第${\displaystyle j}$阶的低通滤波器${\displaystyle g_j}$表示成:
${\displaystyle g_j=Z{g}_{j-<!--\; -\; -->1}=Z^2{g}_{j-<!--\; -\; -->2}=...=Z^{j-<!--\; -\; -->1}{g}_1}$
注意经过提升取样后，${\displaystyle g_j}$的序列长度为原来${\displaystyle g_{j-<!--\; -\; -->1}}$的两倍。

重复上述两个步骤，即可将信号作多阶的稳定小波转换。

而经过${\displaystyle j}$组的高通滤波器和低通滤波器组合之后，第${\displaystyle j}$阶的结果:

${\displaystyle x_{j,L}=x_{j-<!--\; -\; -->1,L}\ast <!--\; \ast \; -->g_j}$
${\displaystyle x_{j,H}=x_{j-<!--\; -\; -->1,L}\ast <!--\; \ast \; -->h_j}$

下面是利用Matlab的离散小波转换的函式，稍作调整后的一维稳定小波转换范例:

 = dwt(A(j,ε1, ,ɛj),wname,'mode','per','shift',ɛj+1); A(j+1,ɛ1, ,ɛj,ɛj+1) = wshift('1D',tmpAPP,ɛj+1);D(j+1,ɛ1, ,ɛj,ɛj+1) = wshift('1D',tmpDET,ɛj+1);