勒文海姆–斯科伦定理

✍ dations ◷ 2025-08-23 15:07:10 #勒文海姆–斯科伦定理
在数理逻辑中,经典 Löwenheim–Skolem 定理声称对于标识(signature)为 < C , F , R , σ > {displaystyle <mathbf {C} ,mathbf {F} ,mathbf {R} ,sigma >} 的任何可数一阶逻辑语言 L 和 L-结构 M,存在一个可数无限基本子结构 N ⊆ {displaystyle subseteq } ' 这个定理的自然和有用的推论是所有一致的 L-理论都有可数的模型。这里的标识由常量集合 C {displaystyle mathbf {C} } 、函数集合 F {displaystyle mathbf {F} } 、关系符号集合 R {displaystyle mathbf {R} } 、和表示函数和关系符号的元数的函数 σ : F ∪ R → N {displaystyle sigma :mathbf {F} cup mathbf {R} rightarrow mathbb {N} } 组成。在这个上下文中 L-结构,由底层集合(经常指示为“M”)和 L 的函数和关系符号的释义组成。L 的常量在 M 中的释义就是 M {displaystyle mathbf {M} } 的元素。类似的, σ ( f )   {displaystyle sigma (f) } -元函数 f ∈ F {displaystyle fin mathbf {F} } 被指派为 M 中的 σ ( f )   {displaystyle sigma (f) } -元函数 M σ ( f ) → M {displaystyle M^{sigma (f)}rightarrow M} 的图,而 σ ( R )   {displaystyle sigma (R) } -元关系 R ∈ R {displaystyle Rin mathbf {R} } 的释义被指派为 M 中的 σ ( R )   {displaystyle sigma (R) } -元关系。语言 L 是可数的,如果在 L 中的常量、函数和关系符号是可数的。一个周知的不可数模型是所有实数的集合,带有次序关系 "<" 作为唯一的关系,和加法与乘法作为函数。有序域的公理是一阶句子;最小上界公理不是一阶的而是二阶的。这个定理蕴涵了实数域的某个可数无限的子域,因此不同于实数域,但满足了实数域所满足的所有一阶句子。(作为可数的有序域,它不能满足最小上界公理)。例如,特定多项式方程有解(在这个模型中)的断言是一阶句子,因此在断言了其存在的可数子模型中是真的,当且仅当它在实数域中是真的。数学家考虑的多数数学结构,特别是多数范畴的多数成员,是这里定义意义上的模型。Löwenheim–Skolem 定理告诉我们如果它们是不可数的,它们不能被任何一阶句子的集合唯一性的选取出来。对于在模型 M 中为真的如下形式的一阶句子或有一个Skolem 函数 f,就是说映射 x 到断言了其存在的 y 的函数,使得在 M 中为真。因为有很多这样的 y 的值,必须启用选择公理来推出 Skolem 函数的存在。这个模型的某些成员可以直接用一阶公式来定义,就是说,它们的存在被如下形式的句子所断言并且因为只有可数多个一阶公式,只有可数多个成员可以用这种方式直接定义。证明的想法是: 开始于这个模型的所有一阶可定义成员的集合,并接着在所有 Skolem 函数下闭合它。这个闭包必定最多是可数无限的。这个模型的子集是这个定理断言了其存在的子模型。上述定理假定了有限或可数无限的语言。更一般的 Löwenheim-Skolem 定理做其他有关基数的假定。类似于这个经典定理的某些定理,断言更小的子模型的存在(“向下” Löwenheim-Skolem 定理);其他一些断言更大基数的模型的存在(“向上” Löwenheim-Skolem 定理)。勒文海姆-斯科伦定理: 如果 Δ {displaystyle Delta } 是一个含有有限可数个数的命题组成的集合,并且集合 Δ {displaystyle Delta } 是可以满足的( Δ {displaystyle Delta } SAT),那么至少存在一个模型(或叫作指派,或叫作解释(Interpretation)) 用符号记作 I, I ⊨ Δ {displaystyle Imodels Delta } ,且这个模型 I 指派解释也是可数的证明:

相关

  • 互联网档案馆网站时光机(英语:Wayback Machine)是万维网或互联网上传播的其他信息的一个数字文件网站,是美国加利福尼亚州旧金山的非营利组织——互联网档案馆最重要的服务之一。网站时光机
  • 光合自养一种生物的基本营养类型可以根据其代谢所采用的碳、还原剂和能量来源划分。多数化能营养生物的能量代谢的基础,是在将电子从还原剂(电子供体,electron donor)到氧化剂(电子受体,el
  • 肠杆菌目肠杆菌目(学名:Enterobacterales)是变形菌门γ-变形菌纲下的一个目,下属的种都是革兰氏阴性菌。2016年以前肠杆菌目下只有一个科,即肠杆菌科。2016年,Adeolu M基于全基因组系统发
  • DNA微阵列DNA微阵列(DNA microarray)又称DNA阵列或DNA芯片,比较常用的名字是基因芯片(gene chip)。是一块带有DNA微阵列(microarray)的特殊玻璃片或硅芯片片,在数平方公分之面积上布放数千或
  • 肥大肥大(英语:Hypertrophy)是由于细胞个体的增大,导致的器官或者组织体积变大的情况。肥大和增生(英语:hyperplasia)不同,增生指的是细胞本身大小不变,但是数量增多的现象。虽然肥大、增
  • 腹腔积液腹水(ascites、hydroperitoneum)是指腹腔内有液体积聚,超过正常量的症状。腹水最常见的病因是肝硬化和其他严重的肝脏疾病,但它的出现也可以是其他重大疾病的征象,如肝癌末期。腹
  • IL31JLI3562n/aENSG00000164399n/aP08700n/aNM_000588n/aNP_000579n/a白细胞介素3(英语:Interleukin 3,IL-3)是一种蛋白质,在人体中由IL 3 基因编码。白细胞介素3是白介素,一个类生
  • 亚历山德罗·伏打电池 甲烷 伏特 电势物理学亚历山德罗·朱塞佩·安东尼奥·阿纳斯塔西奥·伏打(意大利语:Alessandro Giuseppe Antonio Anastasio Volta,1745年2月18日-1827年3月5日),意大利物理
  • 己醛糖己醛糖(英语:Aldohexose)是分子中有醛基的己糖。D-阿洛糖D-阿卓糖D-葡萄糖D-甘露糖D-古洛糖D-艾杜糖D-半乳糖D-塔罗糖果聚糖:菊粉 · 果聚糖β2→6甘露聚糖:低聚木糖:半乳聚糖:
  • 永田町永田町(日语:永田町/ながたちょう Nagatachō */?)是日本东京都千代田区南端的地名。国会议事堂、国立国会图书馆、总理大臣官邸(日本首相府)、众议院议长公邸(日语:衆議院議長公