立方根

✍ dations ◷ 2025-04-03 11:45:58 #初等代数

如果一个数 x {\displaystyle x} 的立方等于 a {\displaystyle a} ,那么这个数 x {\displaystyle x} 就是 a {\displaystyle a} 的立方根,其中 a {\displaystyle a} 称为被开方数,而 x {\displaystyle x} 可以是正数、0、负数或虚数。例如3的立方为27,那么这个数3就是27的一个立方根(在实数范围内)。若 x {\displaystyle x} 是正实数,这个乘积相当于一个边长为 x {\displaystyle x} 的立方体的体积。

在实数系中,实数 a {\displaystyle a} 的立方根通常用 a 3 {\displaystyle {\sqrt{a}}} 表示,可读作“ a {\displaystyle a} 的立方根”,“立方根 a {\displaystyle a} ”或“根号 a {\displaystyle a} 开三次方”。

值得注意的是,某个实数 a {\displaystyle a} 的立方根在复数系中可能有1个,或者2个,或者3个,但在实数系中有且仅有1个。即在实数系中,实数 a {\displaystyle a} 的立方根唯一确定。习惯上,三次根号 a 3 {\displaystyle {\sqrt{a}}} 仅用来表示实数解。例如: 1 3 {\displaystyle {\sqrt{1}}} 仅表示实数1,而不表示复数 1 + 3 i 2 {\displaystyle {\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}} ,与 1 3 i 2 {\displaystyle {\frac {-1-{\sqrt {3}}i}{2}}}

即解 x 3 = 1 {\displaystyle x^{3}=1} ,解法如下:

ω = 1 + 3 i 2 {\displaystyle \omega ={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}} ,则 ω 2 = 1 3 i 2 {\displaystyle \omega ^{2}={\frac {-1-{\sqrt {3}}i}{2}}} ;反之,令 ω = 1 3 i 2 {\displaystyle \omega ={\frac {-1-{\sqrt {3}}i}{2}}} ,则 ω 2 = 1 + 3 i 2 {\displaystyle \omega ^{2}={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}} 。由以上的式子可看出 ω {\displaystyle \omega } 的特性有:

ω {\displaystyle \omega } 可代表 1 ± 3 i 2 {\displaystyle {\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}} 中的任何一数,即 ω {\displaystyle \omega } 为1的立方虚根。

1220年意大利人斐波那契第一次使用 R x {\displaystyle \operatorname {R} x} 来表达立方根, R {\displaystyle \operatorname {R} } 源于拉丁文radix的首字母,意思为“根、方根”。

十七世纪初时,法国数学家笛卡儿(1596-1650)在他的著作几何学中第一次使用不连续的“√”及“ ̄”表示根号,其中“√”为小写r的变形。到了18世纪中叶,数学家卢贝(Loubere)将前面的方根符号与线括号一笔写成,并将根指数写在根号的左上角,以表示高次方根(根指数为2时,省略不写)。从而,形成了我们现在所用的开方符号 x {\displaystyle {\sqrt {\color {white}x}}}

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