立方根

如果一个数${\displaystyle x}$的立方等于${\displaystyle a}$，那么这个数${\displaystyle x}$就是${\displaystyle a}$的立方根，其中${\displaystyle a}$称为被开方数，而${\displaystyle x}$可以是正数、0、负数或虚数。例如3的立方为27，那么这个数3就是27的一个立方根（在实数范围内）。若${\displaystyle x}$是正实数，这个乘积相当于一个边长为${\displaystyle x}$的立方体的体积。

在实数系中，实数${\displaystyle a}$的立方根通常用${\displaystyle \sqrt[3]{a}}$表示，可读作“${\displaystyle a}$的立方根”，“立方根${\displaystyle a}$”或“根号${\displaystyle a}$开三次方”。

值得注意的是，某个实数${\displaystyle a}$的立方根在复数系中可能有1个，或者2个，或者3个，但在实数系中有且仅有1个。即在实数系中，实数${\displaystyle a}$的立方根唯一确定。习惯上，三次根号${\displaystyle \sqrt[3]{a}}$仅用来表示实数解。例如：${\displaystyle \sqrt[3]{1}}$仅表示实数1，而不表示复数${\displaystyle \frac{-<!--\; -\; -->1+\sqrt{3}i}{2}}$，与${\displaystyle \frac{-<!--\; -\; -->1-<!--\; -\; -->\sqrt{3}i}{2}}$。

即解${\displaystyle x^3=1}$，解法如下：

令${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=\frac{-<!--\; -\; -->1+\sqrt{3}i}{2}}$，则${\displaystyle {\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2=\frac{-<!--\; -\; -->1-<!--\; -\; -->\sqrt{3}i}{2}}$；反之，令${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=\frac{-<!--\; -\; -->1-<!--\; -\; -->\sqrt{3}i}{2}}$，则${\displaystyle {\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2=\frac{-<!--\; -\; -->1+\sqrt{3}i}{2}}$。由以上的式子可看出${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$的特性有：

故${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$可代表${\displaystyle \frac{-<!--\; -\; -->1\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{3}i}{2}}$中的任何一数，即${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$为1的立方虚根。

1220年意大利人斐波那契第一次使用${\displaystyle \mathrm{R}<!--\; \; -->x}$来表达立方根，${\displaystyle \mathrm{R}}$源于拉丁文radix的首字母，意思为“根、方根”。

十七世纪初时，法国数学家笛卡儿（1596－1650）在他的著作几何学中第一次使用不连续的“√”及“￣”表示根号，其中“√”为小写r的变形。到了18世纪中叶，数学家卢贝（Loubere）将前面的方根符号与线括号一笔写成，并将根指数写在根号的左上角，以表示高次方根（根指数为2时，省略不写）。从而，形成了我们现在所用的开方符号${\displaystyle \sqrt{x}}$。