谐波小波转换

✍ dations ◷ 2025-10-26 14:39:43 #信号处理

谐波小波转换(Harmonic Wavelet Transform)为学者大卫‧纽兰德(David E. Newland)于1993年所提出,是一个以小波为基底的线性转换,得以将讯号变换至时频域(Time-Frequency Domain)上。谐波小波转换结合了短时距傅立叶变换和连续小波转换两者之优点的讯号分析工具,而其离散版本则可以用快速傅立叶变换做有效率的运算。

考量一个偶对称的实数函数 w e ( x ) {\displaystyle w_{e}(x)} ,其傅立叶变换定义为:

则透过反傅立叶变换,我们可以得到该函数 w e ( x ) {\displaystyle w_{e}(x)} 为:

而考量另一奇对称的函数 w o ( x ) {\displaystyle w_{o}(x)} ,若定义其傅立叶变换为:

则其反傅立叶变换会得到 w o ( x ) {\displaystyle w_{o}(x)} 为:

假如结合 w e ( x ) {\displaystyle w_{e}(x)} w o ( x ) {\displaystyle w_{o}(x)} ,透过 w ( x ) = w e ( x ) + i w o ( x ) {\displaystyle w(x)=w_{e}(x)+iw_{o}(x)} 的关系,我们会得到一复数函数,并定义它为谐波小波(Harmonic Wavelet)。本谐波小波将为以下数学形式:

也由于傅立叶转换的特性和 W e ( ω ) {\displaystyle W_{e}(\omega )} W o ( ω ) {\displaystyle W_{o}(\omega )} 的定义,谐波小波的傅立叶转换对为:

接着,考量到小波转换中的精神--母小波的缩放(Dilation)和平移,透过伸张方程式(Dilation Equation)我们可以写出一系列的谐波小波(其中 j {\displaystyle j} k {\displaystyle k} 皆为整数):

根据前文对 W ( ω ) {\displaystyle W(\omega )} 的定义,或是透过直接计算傅立叶转换对,我们也可以得到缩放和平移后的一系列谐波小波在频域上的表示法:

而若我们将不同的正整数 j {\displaystyle j} 带入上式,例如 j = 3 {\displaystyle j=3} j = 4 {\displaystyle j=4} ,我们会发现后者的振幅会是前者的一半,然而其频带宽会是前者的两倍。这样的特性使得每一阶(Level,对应到不同的 j {\displaystyle j} )的谐波小波,其频域将随着阶数越高而越宽,由是达到多分辨率的效果。

随着 j {\displaystyle j} 的阶数比0越来越小,频带的振幅将越来越高、越来越窄,一路向频率为0的位置延伸。而根据多分辨率分析的理论,我们可以将这些阶数小于0的频带全部收为一个频带,并定义为-1阶( j = 1 {\displaystyle j=-1} )。它涵盖了DC到 2 π {\displaystyle 2\pi } 的频带范围。以小波转换的术语来说,这样具低通滤波性质的函式,被称之为缩放函数(Scaling Function),又称为父小波(Father Wavelet)。谐波小波的缩放函数定义为:

若要证明谐波小波有正交的特性,必须分两个层次讨论, j {\displaystyle j} (不同阶的谐波小波)和 k {\displaystyle k} (不同位移量)。首先讨论不同阶的谐波小波。根据傅立叶理论,若两任意阶数的谐波小波正交,它将有下列关系(参考David Newland,1993):

因为任意阶数之谐波小波其频谱皆分布在正频率轴,故 W ( ω ) V ( ω ) {\displaystyle W(\omega )V(-\omega )} 永远为0。我们还必须证明下式也成立:

而因为不同阶数之谐波小波其频带不相交,故上式的右式也为0,由是证明不同阶数谐波小波的正交特性。至于同阶数、不同位移量的谐波小波,因为傅立叶变换的特性,在时域的位移相当于在频域的讯号必须乘上一个线性相位,因此对位移之谐波小波来说,必须满足下式:

当k不为0的时候,上式将会成立。换言之,当具有位移存在时,谐波小波正交的特质成立。最后,我们也可以用相似的证明方式,证明谐波小波之父小波也具有正交特性。

如同傅立叶级数一般,由于父小波和母小波皆具有正交的特性,我们可以用它们做为基底来对一个函数做展开:

而它们的系数,根据投影,分别为:

而对于实数函数 f ( t ) {\displaystyle f(t)} ,系数将会有这样的关系: a ~ j , k = a j , k {\displaystyle {\tilde {a}}_{j,k}=a_{j,k}^{*}} a ~ k = a k {\displaystyle {\tilde {a}}_{k}=a_{k}^{*}}

相关

  • 最小对立体最小对立体(minimal pair)在音韵学中,指的是在某个语言中一对字词,这对字词的音韵元素,例如语音、音位、声调、时位(chroneme),只有一处相异,而有不同的词意。这个概念可以用来说明某
  • 新昌调腔新昌高腔,又称高腔、高调,中国戏曲剧种之一。因为仅存浙江省新昌县一个剧团,故名新昌高腔。新昌高腔历史悠久,历史长达400年以上,能够演出元代杂剧《西厢记》《汉宫秋》中的部分
  • 阿尔文·H·库库克阿尔文·哈罗德·库库克(英语:Alvin Harold Kukuk;1937年5月21日-2017年4月22日),是美国的共和党政治人物,前密歇根州众议院议员。库库克曾担任陆军国民警卫队成员和志愿消防员,也当
  • 卡尔·马兰蒂斯卡尔·马兰蒂斯(英语:Karl Marlantes,1944年12月24日-)是一位美国作家、企业家,毕业于耶鲁大学,并取得牛津大学的罗德学者资格。越南战争时期曾为美国海军陆战队尉官,并因为率领部队
  • 大保加利亚大保加利亚(保加利亚语:Велика България,拉丁文字转写:)是指保加利亚历史上的领土和一种保加利亚民族统一主义思想,旨在恢复保加利亚的历史最大疆域。其认为包括了
  • 平壤话剧电影大学平壤话剧电影大学位于朝鲜平壤直辖市东大院区域,于1953年11月创办。该校是朝鲜培养创作家和艺术家的专门院校。
  • 柏木上野与洛贝鲁特吉野柏木上野与洛贝鲁特吉野(日语:サイプレス上野とロベルト吉野),日本双人嘻哈组合。Melody Fair所属。2000年组团。柏木上野担当麦克风饶舌、洛贝鲁特吉野担当DJ转盘。简称‘サ上
  • 夏敬渠夏敬渠(1705年-1787年),字懋修,号二铭,自号浣玉生、浣玉主人,人称“旭台先生”。清代江苏江阴人。高祖夏维新是明崇祯癸酉科举人。祖父夏敦仁。康熙四十四年(1705)出生,精通史、经,旁及
  • 东京女子体育大学东京女子体育大学(日语:東京女子体育大学とうきょうじょしたいいくだいがく,英语:Tokyo Women's College of Physical Education)为一所日本的私立体育大学,1902年创立,隶属藤村学
  • 权良淑权良淑 (권양숙,1948年2月2日(农历丁亥年腊月廿三)-)是韩国第16任总统卢武铉的夫人。她是个佛教徒,法号“大德华”。这使她和丈夫在总统竞选过程中,赢得了佛教界的支持。在卢武铉总