首页 >
拉丁方阵
✍ dations ◷ 2025-04-25 05:19:15 #拉丁方阵
拉丁方阵(英语:Latin square)是一种 n × n 的方阵,在这种 n × n 的方阵里,恰有 n 种不同的元素,每一种不同的元素在同一行或同一列里只出现一次。以下是两个拉丁方阵举例:拉丁方阵有此名称是因为瑞士数学家和物理学家欧拉使用拉丁字母来做为拉丁方阵里的元素的符号。当一个拉丁方阵的第一行与第一列的元素按顺序排列时,此为这个拉丁方阵的标准型,英语称为"reduced Latin square, normalized Latin square, 或Latin square in standard form"。许多对于拉丁方阵的运算都会产生新的拉丁方阵。例如说,交换拉丁方阵里的行、交换拉丁方阵里的列、或是交换拉丁方阵里的元素的符号,都会得到一个新的拉丁方阵。交换拉丁方阵里的行、交换拉丁方阵里的列、或是交换拉丁方阵里的元素的符号所得的新的拉丁方阵与原来的拉丁方阵称为同型(isotopic)。同型(isotopism)是一个等价关系,因此所有的拉丁方阵所成的集合可以分成同型类别(isotopic class)的子集合,同型的拉丁方阵属于同一个同型类别,而不属于同一个同型类别的拉丁方阵则不同型。设有两个阶数相同(为)的拉丁方阵
A
1
=
(
a
i
,
j
(
1
)
)
n
×
n
,
A
2
=
(
a
i
,
j
(
2
)
)
n
×
n
{displaystyle A_{1}=(a_{i,j}^{(1)})_{ntimes n},A_{2}=(a_{i,j}^{(2)})_{ntimes n}}
,其中将所有放置位置相同的元素组合成一个元组,组合成一个新的矩阵
(
(
a
i
,
j
(
1
)
,
a
i
,
j
(
2
)
)
)
n
×
n
{displaystyle ((a_{i,j}^{(1)},a_{i,j}^{(2)}))_{ntimes n}}
。
当这个新的矩阵
(
(
a
i
,
j
(
1
)
,
a
i
,
j
(
2
)
)
)
n
×
n
{displaystyle ((a_{i,j}^{(1)},a_{i,j}^{(2)}))_{ntimes n}}
中每一个元素互不相同时,拉丁方阵
A
1
{displaystyle A_{1}}
和
A
2
{displaystyle A_{2}}
是互相正交的。
此时,
A
1
{displaystyle A_{1}}
和
A
2
{displaystyle A_{2}}
即为一对正交拉丁方。
而在阶数固定的情况下,所有两两正交的拉丁方所成的集合称为正交拉丁方族。根据前面所得到关于正交的定义,两个拉丁方阵相正交所得到的方阵为希腊拉丁方阵(Graeco-Latin square)。
事实上,并不是任意阶数的拉丁方都存在一对正交拉丁方,也就是说,并不是任意阶数的拉丁方均存在希腊拉丁方阵,n阶希腊拉丁方阵存在的充要条件是n+2不是2的幂,所以其实几乎所有的阶数都存在希腊拉丁方阵。若n阶拉丁方存在r个两两正交的拉丁方,那么
r
≤
n
−
1
{displaystyle rleq n-1}
。当该定理中的等号成立时,则该阶正交拉丁方族被称为完全的。
可以分析得到,当n为0或1时,存在无限多个正交的拉丁方,当n为2时,不存在正交拉丁方族。
此外,当n为6时,也不存在正交拉丁方族,这个结论是通过对三十六军官问题的尝试得到的。
三十六军官问题指的是是否有一个解决方案使得来自6个不同地区的6个不同军衔的军官排成
6
×
6
{displaystyle 6times 6}
的方阵,其中每一行每一列的军官都来自于不同的地区且具有不同的军衔。
而该问题的方案即为6阶正交拉丁方的个数,该问题于1901年被Gaston Tarry证明为无解。
除了上述三种情况外,当阶数小于等于8时,均存在有n-1个正交的拉丁方。如当n=3时,存在两个正交的拉丁方。
[
1
2
3
2
3
1
3
1
2
]
{displaystyle {begin{bmatrix}1&2&3\2&3&1\3&1&2\end{bmatrix}}}
[
1
2
3
3
1
2
2
3
1
]
{displaystyle {begin{bmatrix}1&2&3\3&1&2\2&3&1\end{bmatrix}}}
当阶数更多时
n
≤
8
{displaystyle nleq 8}
,可以通过正交拉丁方表得到正交拉丁方族。事实上,当阶数n是质数或者质数的幂次时,必定存在n-1个正交拉丁方,另外,当n除以4余1或2,而且n不是两个平方数的和(0也算作平方数),就一定不存在n-1个正交的拉丁方,而对于10阶的情形,已经确定至少存在2个正交的拉丁方,但是不存在9个正交的拉丁方,因此10阶正交拉丁方的个数最少是2,最大是8(因为到目前为止,连3个正交的10阶拉丁方都还没找到,所以有猜测是10阶正交拉丁方的个数是2),对于12阶,已经确定至少存在5个正交的拉丁方了。目前,没有公式可以计算 n × n 的拉丁方阵的数量,而当前最精确的公式在当 n 很大时,拉丁方阵的数量的最精确的估计值,其上下界也相差很远。
具体估计公式为:
∏
k
=
1
n
(
k
!
)
n
/
k
≥
L
n
≥
(
n
!
)
2
n
n
n
2
{displaystyle prod _{k=1}^{n}(k!)^{n/k}geq L_{n}geq {frac {(n!)^{2n}}{n^{n^{2}}}}}以下是已知的数值。当 n 增加时,拉丁方阵的数量急速增多。
相关
- 腰椎腰椎(英语:lumbar vertebrae)在腰部底下有5块,用以支持背部。Template:Bones of torso(英语:Template:Bones of torso) Template:Spinal nerves(英语:Template:Spinal nerves)
- 严格条件在逻辑中,严格条件是遵照来自模态逻辑的必然性算子行事的实质条件。对于任何两个命题 p {\displaystyle p} 和
- 雄蕊雄蕊(stamen)是被子植物花的雄性生殖器,为雄花器(androecium)的一部分,作用是产生花粉。雄蕊轮状或螺旋状着生于花托上,位于花被内侧及雌花器外侧(霉草科中的少数成员为例外,其中最著
- 创世纪《创世记》(希伯来语:.mw-parser-output .script-hebrew,.mw-parser-output .script-Hebr{font-size:1.15em;font-family:"Ezra SIL","Ezra SIL SR","Keter Aram Tsova","Taam
- 基因本体基因本体论(Gene ontology ,GO)是一种系统地对物种基因及其产物属性进行注释的方法和过程。它的目标是:1)维护和发展有限的基因及其产物属性描述的词汇;2)注释基因及其产物,同化和传
- 欧洲分子生物学实验室欧洲分子生物学实验室(英文:European Molecular Biology Laboratory, EMBL)创建于1974年,是一所非营利性的分子生物学研究机构,由22个欧洲国家(会员国)及四个前景会员国和两个准会
- 高级服装定制高级服装定制指的是在时装界中,由专属的时装设计师为穿戴者量身定制时装的服务,简称“高定”。进行高级服装定制的奢侈品牌通常设有专门的工作室,被称为« maisons de haute c
- 中国园林中国园林,是中国建筑的特色之一。广义上,园林意指在人工建筑出来的环境中模拟自然景物,范围相当广,小至盆栽的植种,大至池水与假山的布景。中国园林的重点则在于造景的巧妙,如何模
- 机械加工机械加工是一种用加工机械对工件的外形尺寸或性能进行改变的过程。按被加工的工件处于的温度状态,分为冷加工和热加工。一般在常温下加工,并且不引起工件的化学或物相变化,称冷
- 银镜反应银镜反应(英语:silver mirror reaction)是一价银化合物的溶液被还原为金属银的化学反应,由于生成的金属银附着在容器内壁上,光亮如镜,故称为银镜反应。常见的银镜反应是银氨络合物