首页 >
拉丁方阵
✍ dations ◷ 2025-04-26 17:24:01 #拉丁方阵
拉丁方阵(英语:Latin square)是一种 n × n 的方阵,在这种 n × n 的方阵里,恰有 n 种不同的元素,每一种不同的元素在同一行或同一列里只出现一次。以下是两个拉丁方阵举例:拉丁方阵有此名称是因为瑞士数学家和物理学家欧拉使用拉丁字母来做为拉丁方阵里的元素的符号。当一个拉丁方阵的第一行与第一列的元素按顺序排列时,此为这个拉丁方阵的标准型,英语称为"reduced Latin square, normalized Latin square, 或Latin square in standard form"。许多对于拉丁方阵的运算都会产生新的拉丁方阵。例如说,交换拉丁方阵里的行、交换拉丁方阵里的列、或是交换拉丁方阵里的元素的符号,都会得到一个新的拉丁方阵。交换拉丁方阵里的行、交换拉丁方阵里的列、或是交换拉丁方阵里的元素的符号所得的新的拉丁方阵与原来的拉丁方阵称为同型(isotopic)。同型(isotopism)是一个等价关系,因此所有的拉丁方阵所成的集合可以分成同型类别(isotopic class)的子集合,同型的拉丁方阵属于同一个同型类别,而不属于同一个同型类别的拉丁方阵则不同型。设有两个阶数相同(为)的拉丁方阵
A
1
=
(
a
i
,
j
(
1
)
)
n
×
n
,
A
2
=
(
a
i
,
j
(
2
)
)
n
×
n
{displaystyle A_{1}=(a_{i,j}^{(1)})_{ntimes n},A_{2}=(a_{i,j}^{(2)})_{ntimes n}}
,其中将所有放置位置相同的元素组合成一个元组,组合成一个新的矩阵
(
(
a
i
,
j
(
1
)
,
a
i
,
j
(
2
)
)
)
n
×
n
{displaystyle ((a_{i,j}^{(1)},a_{i,j}^{(2)}))_{ntimes n}}
。
当这个新的矩阵
(
(
a
i
,
j
(
1
)
,
a
i
,
j
(
2
)
)
)
n
×
n
{displaystyle ((a_{i,j}^{(1)},a_{i,j}^{(2)}))_{ntimes n}}
中每一个元素互不相同时,拉丁方阵
A
1
{displaystyle A_{1}}
和
A
2
{displaystyle A_{2}}
是互相正交的。
此时,
A
1
{displaystyle A_{1}}
和
A
2
{displaystyle A_{2}}
即为一对正交拉丁方。
而在阶数固定的情况下,所有两两正交的拉丁方所成的集合称为正交拉丁方族。根据前面所得到关于正交的定义,两个拉丁方阵相正交所得到的方阵为希腊拉丁方阵(Graeco-Latin square)。
事实上,并不是任意阶数的拉丁方都存在一对正交拉丁方,也就是说,并不是任意阶数的拉丁方均存在希腊拉丁方阵,n阶希腊拉丁方阵存在的充要条件是n+2不是2的幂,所以其实几乎所有的阶数都存在希腊拉丁方阵。若n阶拉丁方存在r个两两正交的拉丁方,那么
r
≤
n
−
1
{displaystyle rleq n-1}
。当该定理中的等号成立时,则该阶正交拉丁方族被称为完全的。
可以分析得到,当n为0或1时,存在无限多个正交的拉丁方,当n为2时,不存在正交拉丁方族。
此外,当n为6时,也不存在正交拉丁方族,这个结论是通过对三十六军官问题的尝试得到的。
三十六军官问题指的是是否有一个解决方案使得来自6个不同地区的6个不同军衔的军官排成
6
×
6
{displaystyle 6times 6}
的方阵,其中每一行每一列的军官都来自于不同的地区且具有不同的军衔。
而该问题的方案即为6阶正交拉丁方的个数,该问题于1901年被Gaston Tarry证明为无解。
除了上述三种情况外,当阶数小于等于8时,均存在有n-1个正交的拉丁方。如当n=3时,存在两个正交的拉丁方。
[
1
2
3
2
3
1
3
1
2
]
{displaystyle {begin{bmatrix}1&2&3\2&3&1\3&1&2\end{bmatrix}}}
[
1
2
3
3
1
2
2
3
1
]
{displaystyle {begin{bmatrix}1&2&3\3&1&2\2&3&1\end{bmatrix}}}
当阶数更多时
n
≤
8
{displaystyle nleq 8}
,可以通过正交拉丁方表得到正交拉丁方族。事实上,当阶数n是质数或者质数的幂次时,必定存在n-1个正交拉丁方,另外,当n除以4余1或2,而且n不是两个平方数的和(0也算作平方数),就一定不存在n-1个正交的拉丁方,而对于10阶的情形,已经确定至少存在2个正交的拉丁方,但是不存在9个正交的拉丁方,因此10阶正交拉丁方的个数最少是2,最大是8(因为到目前为止,连3个正交的10阶拉丁方都还没找到,所以有猜测是10阶正交拉丁方的个数是2),对于12阶,已经确定至少存在5个正交的拉丁方了。目前,没有公式可以计算 n × n 的拉丁方阵的数量,而当前最精确的公式在当 n 很大时,拉丁方阵的数量的最精确的估计值,其上下界也相差很远。
具体估计公式为:
∏
k
=
1
n
(
k
!
)
n
/
k
≥
L
n
≥
(
n
!
)
2
n
n
n
2
{displaystyle prod _{k=1}^{n}(k!)^{n/k}geq L_{n}geq {frac {(n!)^{2n}}{n^{n^{2}}}}}以下是已知的数值。当 n 增加时,拉丁方阵的数量急速增多。
相关
- 体适能体适能(英语:Physical Fitness),为身体适应外界环境之能力,可视为身体适应生活、运动与环境 (例如,温度、气候变化或病毒等因素)的综合能力。它包含了两个面向,一般素质(身体健康的状
- 健康科学医疗卫生科学(又称:医疗科学、健康科学、保健科学)与应用科学息息相关,旨在运用理工及技术之知识,解决与生物健康有关的问题。除了传统的医学外,此类学科还包括护理、公共卫生等学
- 外骨骼外骨骼是节肢动物外壳的俗称,因为坚硬有如骨骼,因此得名。如螃蟹的壳、昆虫的角质层等。亦有人把乌龟的壳视为一种外骨骼。节肢动物的体表覆盖着坚硬的体壁。体壁由三部分组成
- 环状软骨环状软骨(cricoid cartilage、/ˌkraɪkɔɪd ˈkɑːrtɪlɪdʒ/),或简单的表示环状(来自希腊语 krikoeides、意为"环形")或环状环(cricoid ring),是气管周围唯一完整的软骨环。 它
- 脑机界面脑机接口(英语:brain-computer interface,简称BCI;有时也称作direct neural interface或者brain-machine interface),是在人或动物脑(或者脑细胞的培养物)与外部设备间创建的直接连
- cys半胱氨酸(Cysteine,可简写为Cys或C)是20种天然氨基酸之一,是一种含硫(与甲硫氨酸一样)的非必需氨基酸。动物体内可经由甲硫氨酸和丝氨酸合成。有缓解修复放射线对人体的损伤作用
- 生物安全柜生物安全柜(英语:biosafety cabinet, biological safety cabinet,一般简称BSC),是生物安全实验室常见的重要设备,异于化学实验室内的通风柜(Fume Hood),或者是层流柜(Laminar flow ca
- 手掌手是人或其他灵长类动物臂前端的一部分,由五只手指以及手掌组成,主要是用来抓和握住东西,两个手相互对称,互为镜像。除了天生有残缺或有增生,一般人有左手和右手各一,每只手有五只
- 双链核糖核酸病毒核糖核酸病毒(英语:RNA virus),又称RNA病毒,其遗传物质为RNA,这些核糖核酸通常是单链RNA(ssRNA),但是也可能是双链RNA(dsRNA)。由RNA病毒感染造成的著名人类疾病包括艾滋病(AIDS)、埃博
- 车前草车前草(学名:Plantago asiatica)为车前草科车前草属的物种,是一种多年生草本植物,又名蕮(音同“惜”)、车轮菜子、猪耳朵棵子、五更草、田灌草、牛舌草子、车轱辘草子,诗经中称之为