李代数

无限单李群：A_n, B_n, C_n, D_n,
特殊单李群 G₂（英语：G2 (mathematics)） F₄E₆ E₇E₈（英语：E8 (mathematics)）

数学上，李代数是一个代数结构，主要用于研究象李群和微分流形之类的几何对象。李代数因研究无穷小变换的概念而引入。“李代数”（以索菲斯·李命名）一词是由赫尔曼·外尔在1930年代引入的。在旧文献中，无穷小群指的就是李代数。

李代数是一个在域 上的向量空间 ${\displaystyle \mathfrak{g}}$, 属于${\displaystyle \mathfrak{g}}$ 的特征不是 2时，反交换律也蕴含交错性（不过，当特征为2时，对于任何${\displaystyle x\in <!--\; \in \; -->\mathfrak{g},2x}$的。对于所有的应用目的，同构的李代数是相同的。

李代数${\displaystyle \mathfrak{g}}$, ] = 0 对于所有 和 。更一般的，一个李代数 ${\displaystyle \mathfrak{g}}$ 映射

是零幂的。更一般的，李代数 ${\displaystyle \mathfrak{g}}$ 称为半单 如果 ${\displaystyle \mathfrak{g}}$(,) = tr(ad()ad()) 是非退化的；这里 tr 表示迹算子。当域 的特征数为 0， ${\displaystyle \mathfrak{g}}$ 和态射 ${\displaystyle :A\otimes <!--\; \otimes \; -->A\to <!--\; \to \; -->A}$ 使得

其中${\displaystyle \mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}(a\otimes <!--\; \otimes \; -->b):=b\otimes <!--\; \otimes \; -->a}$ 而 σ 是复合 ${\displaystyle (\mathrm{i}\mathrm{d}\otimes <!--\; \otimes \; -->{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{A,A})\circ <!--\; \circ \; -->({\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{A,A}\otimes <!--\; \otimes \; -->\mathrm{i}\mathrm{d})}$的循环枚举。用交换图形式: