山边问题

山边（Yamabe）问题是微分几何的问题，得名自山边英彦。虽然山边英彦在1960年初宣称得到解答，他的证明中一个关键错误在1968年被尼尔·特鲁丁格发现，而山边英彦已在1960年底逝世。后来陆续由尼尔·特鲁丁格、蒂埃里·奥班、理查德·舍恩研究，山边问题在1984年得到完全解决。

给出维数${\displaystyle n\ge <!--\; \ge \; -->3}$的光滑紧致流形${\displaystyle M}$及黎曼度量${\displaystyle g}$，是否必然存在共形于${\displaystyle g}$的度量${\displaystyle g^{\prime }}$，使得${\displaystyle g^{\prime }}$的数量曲率为常数？换言之，${\displaystyle M}$上是否存在光滑函数${\displaystyle f}$，使得 ${\displaystyle g^{\prime }=e^{2f}g}$有常数量曲率？

现已知道确有如此度量，证明使用了微分几何、偏微分方程、泛函分析的技巧。

推广到非紧致流形上的山边问题是：在非紧致的光滑完备黎曼流形${\displaystyle (M,g)}$，是否必然存在共形度量${\displaystyle g^{\prime }}$，使数量曲率为常数，且流形仍为完备？这问题的答案为否，Jin Zhiren发现其反例。