推迟势

在电磁学里，推迟势指的是，响应含时电荷分布或含时电流分布，而产生的推迟标势或推迟矢势。对于这程序，由于“前因”与“后果”之间必然的推迟关系，讯号以光速从源位置传播到场位置，需要有限时间。在某源位置的电流或电荷分布，必须经过一段时间之后，才能够将其影响传播到场位置，产生对应的电磁作用。这一段时间的长久跟源位置与场位置之间距离的远近有关。对于静态的电荷分布和电流分布，电势 Φ ( r ) {displaystyle Phi (mathbf {r} )} 和磁矢势 A ( r ) {displaystyle mathbf {A} (mathbf {r} )} 分别定义为其中， r {displaystyle mathbf {r} } 是场位置， r ′ {displaystyle mathbf {r} '} 是源位置， ϵ 0 {displaystyle epsilon _{0}} 是真空电容率， μ 0 {displaystyle mu _{0}} 是真空磁导率， ρ {displaystyle rho } 是电荷密度， J {displaystyle mathbf {J} } 是电流密度， V ′ {displaystyle mathbb {V} '} 是体积分的空间， d 3 r ′ {displaystyle d^{3}mathbf {r} '} 是微小体元素。在电动力学里，这两个方程必须加以延伸，才能正确地响应含时电流分布或含时电荷分布。定义推迟时间 t r {displaystyle t_{r}} 为检验时间 t {displaystyle t} 减去电磁波传播的时间：其中， c {displaystyle c} 是光速。假设，从源位置 r ′ {displaystyle mathbf {r} '} 往场位置 r {displaystyle mathbf {r} } 发射出一束电磁波，而这束电磁波在检验时间 t {displaystyle t} 抵达观测者的场位置 r {displaystyle mathbf {r} } ，则这束电磁波发射的时间是推迟时间 t r {displaystyle t_{r}} 。由于电磁波传播于真空的速度是有限的，观测者检验到电磁波的检验时间 t {displaystyle t} ，会不同于这电磁波发射的推迟时间 t r {displaystyle t_{r}} 。推迟标势 Φ ( r , t ) {displaystyle Phi (mathbf {r} ,,t)} 与推迟矢势 A ( r , t ) {displaystyle mathbf {A} (mathbf {r} ,,t)} 分别用方程定义为请注意，在这两个含时方程内，源电荷密度和源电流密度都跟推迟时间 t r {displaystyle t_{r}} 有关，而不是与时间无关。这两个含时方程，是用推理得到的启发式，而不是用任何定律或公理推导出来的。讯号以光速传播，从源位置到场位置，需要有限时间。所以在时间 t {displaystyle t} 的推迟势必定是由在推迟时间 t r {displaystyle t_{r}} 的源电荷密度或源电流密度产生的。为了要确定这两个方程的正确性与合理性，必须证明它们满足非齐次的电磁波方程。还有，洛伦茨规范是一个常用的规范，可以较便利地解析电磁辐射的生成问题。稍后会有表示两个方程满足洛伦茨规范条件的证明。含时电荷分布或含时电流分布所产生的电势或磁矢势，必须遵守达朗贝尔方程，表达为:1假若，这些用启发法推理得到的推迟标势 Φ ( r , t ) {displaystyle Phi (mathbf {r} ,,t)} 和推迟矢势 A ( r , t ) {displaystyle mathbf {A} (mathbf {r} ,,t)} 不能满足非齐次的电磁波方程，那么，这些推迟势很可能有重大错误，无法适用于期望的用途（从含时源生成电磁辐射）。设定 R {displaystyle {boldsymbol {mathfrak {R}}}} 为从源位置到场位置的分离矢量：场位置 r {displaystyle mathbf {r} } 、源位置 r ′ {displaystyle mathbf {r} '} 和时间 t {displaystyle t} 都是自变数（independent variable）。分离矢量 R {displaystyle {boldsymbol {mathfrak {R}}}} 和其大小 R {displaystyle {mathfrak {R}}} 都是应变数（dependent variable），跟场位置 r {displaystyle mathbf {r} } 、源位置 r ′ {displaystyle mathbf {r} '} 有关。推迟时间 t r = t − R / c {displaystyle t_{r}=t-{mathfrak {R}}/c} 也是应变数，跟时间 t {displaystyle t} 、分离距离 R {displaystyle {mathfrak {R}}} 有关。推迟标势 Φ ( r , t ) {displaystyle Phi (mathbf {r} ,,t)} 的梯度是源电荷密度 ρ ( r ′ , t r ) {displaystyle rho (mathbf {r} ',,t_{r})} 的全微分是注意到所以，源电荷密度 ρ ( r ′ , t r ) {displaystyle rho (mathbf {r} ',,t_{r})} 的梯度是其中， ρ ˙ ( r ′ , t r ) {displaystyle {dot {rho }}(mathbf {r} ',,t_{r})} 定义为 ∂ ρ ( r ′ , t ) ∂ t r {displaystyle {frac {partial rho (mathbf {r} ',,t)}{partial t_{r}}}} 。将这公式代入，推迟标势 Φ ( r , t ) {displaystyle Phi (mathbf {r} ,,t)} 的梯度是推迟标势 Φ ( r , t ) {displaystyle Phi (mathbf {r} ,,t)} 的拉普拉斯算符是其中， δ 3 ( R ) {displaystyle delta ^{3}({boldsymbol {mathfrak {R}}})} 是三维狄拉克δ函数。所以，推迟标势满足非齐次的电磁波方程类似地，可以证明推迟矢势 A ( r , t ) {displaystyle mathbf {A} (mathbf {r} ,,t)} 满足非齐次的电磁波方程。给予磁场 B {displaystyle mathbf {B} } ，并不是只有一个矢量场 A {displaystyle mathbf {A} } 满足条件 B = ∇ × A {displaystyle mathbf {B} =nabla times mathbf {A} } 。实际上，有无限多个解答。应用一项矢量恒等式， ∇ × ( ∇ λ ) = 0 {displaystyle nabla times (nabla lambda )=0} ，给予任意函数 λ {displaystyle lambda } ，那么， A = A + ∇ λ {displaystyle mathbb {A} =mathbf {A} +nabla lambda } 也是一个解答。磁矢势的这种特性，称为规范自由。物理学家时常会选择使用某种规范来解析特定的问题。在电磁学里，洛伦茨规范是一个常用的规范，可以便利地解析电磁辐射的生成问题。洛伦茨规范用微分方程表达为按照前述方法，可以证明推迟标势 Φ ( r , t ) {displaystyle Phi (mathbf {r} ,,t)} 和推迟矢势 A ( r , t ) {displaystyle mathbf {A} (mathbf {r} ,,t)} 满足洛伦茨规范。这是一个很好的练习。推迟势与电场 E {displaystyle mathbf {E} } 、磁场 B {displaystyle mathbf {B} } 的关系分别为按照前述方法，可以得到电场 E {displaystyle mathbf {E} } 和磁场 B {displaystyle mathbf {B} } 的方程，又称为杰斐缅柯方程：定义超前时间 t a {displaystyle t_{a}} 为现在时间 t {displaystyle t} 加上光波传播的时间：超前标势 Φ a ( r , t ) {displaystyle Phi _{a}(mathbf {r} ,,t)} 与超前矢势 A a ( r , t ) {displaystyle mathbf {A} _{a}(mathbf {r} ,,t)} 分别用方程表达为这两个方程表明，在时间 t {displaystyle t} 的超前标势与超前矢势，乃是由在超前时间 t a {displaystyle t_{a}} 的源电荷密度或源电流密度产生的。超前标势 Φ a ( r , t ) {displaystyle Phi _{a}(mathbf {r} ,,t)} 与超前矢势 A a ( r , t ) {displaystyle mathbf {A} _{a}(mathbf {r} ,,t)} 也满足非齐次的电磁波方程和洛伦茨规范，但它们违反了因果律。这是很严峻的问题，未来发生的事件不应该影响过去发生的事件。在物理学里，超前标势和超前矢势只是很有意思的纯理论问题，并没有任何实际用途。