矩生成函数

✍ dations ◷ 2025-08-17 04:28:51 #矩生成函数

在概率论和统计学中，一个实数值随机变量的矩母函数（moment-generating function）又称矩生成函数，矩亦被称作动差，矩生成函数是其概率分布的一种替代规范。因此，与直接使用概率密度函数或累积分布函数相比，它为分析结果提供了替代途径的基础。对于由随机变量的加权和定义的分布的矩生成函数，有特别简单的结果。然而，并非所有随机变量都具有矩生成函数。

顾名思义，矩生成函数可用于计算分布的矩：关于 0 的第 ${displaystyle n}$ 具有连续概率密度函数 ${displaystyle f(x)}$ 的动差生成函数则为：

对于分量为实数的向量值随机变量X，动差生成函数为：

其中 ${displaystyle mathbf {t} }$ 个矩为：

如果动差生成函数在这个区间内是有限的，则它唯一决定了一个概率分布。

一些其它在概率论中常见的积分变换也与动差生成函数有关，包括特征函数以及概率生成函数。

累积量生成函数是动差生成函数的对数。

下面是一些矩生成函数和特征函数的例子，用于比较。可以看出，特征函数是矩生成函数 ${displaystyle M_{X}(t)}$ ${displaystyle M_{X}(t)}$ 存在时的威克转动（Wick rotation）。

${displaystyle operatorname {MultiCauchy} (mu ,Sigma )}$ ${displaystyle operatorname {MultiCauchy} (mu ,Sigma )}$

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