圆

圆 （英语：Circle），根据欧几里得的《几何原本》定义，是在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合。此外，圆的第二定义是：“平面内一动点到两定点的距离的比，等于一个常数，则此动点的轨迹是圆。”古代人最早是从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的。在一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙、砾石和石珠上钻孔，那些孔有的就很像圆。到了陶器时代，许多陶器都是圆的。圆的陶器是将泥土放在一个转盘上制成的。当人们开始纺线，又制出了圆形的石纺锤或陶纺锤。古代人还发现搬运圆的木头时滚着走比较省劲。后来他们在搬运重物的时候，就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走。约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子——圆型的木盘。大约在4000多年前，人们将圆的木盘固定在木架下，这就成了最初的车子。 古代埃及人认为：圆，是神赐给人的神圣图形。一直到两千多年前中国的墨子（约公元前468-前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也。意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周上各点的距离（即半径）都相等。这个定义比希腊数学家欧几里得（约公元前330-前275年）给圆下定义要早100年。圆是在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合，这个定点叫做圆的圆心（通常用 O {displaystyle O} 表示）。圆周上任何两点相连的线段称为圆的弦（英语：chord）。如图2， A {displaystyle A} 、 B {displaystyle B} 分别为圆上任意两点，那么 A B ¯ {displaystyle {overline {AB}}} 就是圆的弦圆周上任意两点间的部分叫做弧（英语：arc），通常用符号 ⌢ {displaystyle frown } 表示。弧分为半圆、优弧、劣弧三种。假如一条直线与圆相交仅有一个交点，那么称这条直线是这个圆的切线，与圆相交的点叫做切点。如如下图，直线 Q P ¯ {displaystyle {overline {QP}}} 与圆只有一个交点 P {displaystyle P} ，那么 Q P ¯ {displaystyle {overline {QP}}} 就是圆的切线。 过圆上一点的切线：设该点为 P ( x o , y o ) {displaystyle P(x_{o},y_{o})} ，圆的方程为 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 {displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}} ，则圆在该点的切线方程为： ( x o − a ) ( x − a ) + ( y o − b ) ( y − b ) = r 2 {displaystyle (x_{o}-a)(x-a)+(y_{o}-b)(y-b)=r^{2}}一条直线与一条弧线有两个公共点，这条直线是这条曲线的割线（英语：Secant Theorem）。如图，直线 Q O ¯ {displaystyle {overline {QO}}} 与圆有两个公共点，那么直线 Q O ¯ {displaystyle {overline {QO}}} 就是圆的割线。圆的一周的长度称为圆的周长（记作 C {displaystyle C} ）。圆的周长与半径的关系是：其中 π {displaystyle pi } 是圆周率。圆的面积与半径的关系是： A = π r 2 {displaystyle A=pi r^{2}} 。圆既是轴对称图形又是中心对称图形，圆的对称轴为经过圆心 O {displaystyle O} 的任意直线，圆的对称中心为圆心 O {displaystyle O}同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等，此定理也称“一推三定理”。圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 如上图， M {displaystyle M} 为圆心， A , B , C {displaystyle A,B,C} 分别为圆周上的点，那么： ∠ A M B = 2 ∠ A C B {displaystyle angle AMB=2;angle ACB}圆周角定理的推论：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。如图，直径 B E ¯ ⊥ {displaystyle {overline {BE}}perp } 弦 A C ¯ {displaystyle {overline {AC}}} ，那么 B E ¯ {displaystyle {overline {BE}}} 平分 A C ¯ {displaystyle {overline {AC}}} 且平分 A C ⌢ {displaystyle {overset {frown }{AC}}}两个不同大小的圆（半径分别为 r {displaystyle r} 及 R {displaystyle R} ，圆心距为 d {displaystyle d} ，其中 r < R {displaystyle r<R} ）之间的关系如下：在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。例如求半径到直线距离的方程就可以叫圆系方程。 在方程 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 {displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}} 中，若圆心 ( a , b ) {displaystyle (a,b)} 为定点， r {displaystyle r} 为参变数，则它表示同心圆的圆系方程．若 r {displaystyle r} 是常量， a {displaystyle a} （或 b {displaystyle b} ）为参变数，则它表示半径相同，圆心在同一直线上（平行于 x {displaystyle x} 轴或 y {displaystyle y} 轴）的圆系方程．截面为圆的三维形状有：