互能定理

在电磁学中，互能定理是关于电磁场的能量传输的电磁场定理，用于解决发射天线到接收天线的能量传输问题，以及天线的方向图问题，波的展开问题。W. J. Welch 于1960年提出了时域互易定理（W. J. Welch）。V.H. Rumsey 简单的提到了对洛伦兹互易变换做共轭变换后可得到另一个公式，不过他没有做进一步深入的研究。（V.H. Rumsey）。赵双任在1987年初发表了互能定理（赵双任），Adrianus T. de Hoop 在1987年末发表了时域关联的的互易定理（Adrianus T. de Hoop）。可以证明时域关联的的互易定理与互能定理（赵双任）仅差一个傅里叶变换，因此可以看成是一个定理。时域互易定理（W. J. Welch）是时域关联的的互易定理（Adrianus T. de Hoop）的特例。因此可以把这三个定理可以统一为一个定理，考虑这个定理同洛伦兹互易定理有明显的区别。而且从这个定理的推导可以看出，它其实同坡印亭定理中的互能项紧密联系，因此把它们统称为互能定理是合理的。

这个定理后来又多次被重复发现，例如I. V. Petrusenko 的论文（I. V. Petrusenko）

互能定理的主要应用在于波的展开，球面波展开（赵双任），平面波展开（赵双任），场内积表达对电磁场复杂的计算公式的简化（赵双任），以及对发射天线，接收天线功率传输的计算。

惠勒和费曼在远距离作用(action-at-a-distance)（A.D. Fokker）（K. Schwarzschild）（H. Tetrode）的基础上提出了吸收体理论（J. A. Wheeler）（J. A. Wheeler）。John Cramer 在吸收体理论基础上提出了量子力学的交易诠释(John Cramer).。这些理论牵扯到超前波的概念。超前波是近代物理，量子力学，量子电动力学，量子场论中的非常重要概念。对超前波的存在与否的问题仍然是有争议的。因为这个概念牵扯到因果关系，波粒子二象性，波函数的塌缩，量子纠缠等等非常重要的物理概念。互能定理是上述吸收体理论，量子力学交易诠释在经典电磁场理论中的对应物，因此意义十分重要。

设有两个电流源，${\displaystyle {\mathbf{J}}_1={\mathbf{J}}_1(t)}$，${\displaystyle {\mathbf{J}}_2={\mathbf{J}}_2(t)}$,它们的电磁场为${\displaystyle {\mathbf{E}}_1={\mathbf{E}}_1(t)}$，${\displaystyle {\mathbf{H}}_1={\mathbf{H}}_1(t)}$ 和 ${\displaystyle {\mathbf{E}}_2={\mathbf{E}}_2(t)}$，${\displaystyle {\mathbf{H}}_2={\mathbf{H}}_2(t)}$。时域电磁场互能定理可以表示为

${\displaystyle -<!--\; -\; -->{\int <!--\; \int \; -->}_{t=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}}$${\displaystyle \text{∯<!-- ∯ -->}}$${\displaystyle \mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}V}$${\displaystyle ({\mathbf{E}}_1\times <!--\; \times \; -->{\mathbf{H}}_2+{\mathbf{E}}_2\times <!--\; \times \; -->{\mathbf{H}}_1)\cdot <!--\; \cdot \; -->d\mathbf{A}dt}$

${\displaystyle ={\int <!--\; \int \; -->}_{t=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_V({\mathbf{E}}_1\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{J}}_2+{\mathbf{E}}_2\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{J}}_1)dVdt}$

如果两个电磁场${\displaystyle {\mathbf{E}}_1={\mathbf{E}}_1(t)}$，${\displaystyle {\mathbf{H}}_1={\mathbf{H}}_1(t)}$ 和 ${\displaystyle {\mathbf{E}}_2={\mathbf{E}}_2(t)}$，${\displaystyle {\mathbf{H}}_2={\mathbf{H}}_2(t)}$ 中一个是超前波，一个是滞后波，超前波在过去某个时刻到达到球面，滞后波在将来某个时刻到达到球面，因此两个场不同时在大球面上不为零。因此有，

${\displaystyle {\int <!--\; \int \; -->}_{t=\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}}$${\displaystyle \text{∯<!-- ∯ -->}}$${\displaystyle \mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}V}$${\displaystyle ({\mathbf{E}}_1\times <!--\; \times \; -->{\mathbf{H}}_2+{\mathbf{E}}_2\times <!--\; \times \; -->{\mathbf{H}}_1)\cdot <!--\; \cdot \; -->d\mathbf{A}dt=0}$

因此有，

${\displaystyle {\int <!--\; \int \; -->}_{t=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_V({\mathbf{E}}_1\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{J}}_2+{\mathbf{E}}_2\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{J}}_1)dVdt=0}$

假设${\displaystyle {\mathbf{J}}_1={\mathbf{J}}_1(t)}$在体积${\displaystyle V1}$内。${\displaystyle {\mathbf{J}}_2={\mathbf{J}}_2(t)}$在体积${\displaystyle V2}$内,且${\displaystyle V1}$ 和 ${\displaystyle V2}$ 在 ${\displaystyle V}$ 内。 因此有如下形式的电磁场互能定理，

${\displaystyle -<!--\; -\; -->{\int <!--\; \int \; -->}_{t=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_{V2}{\mathbf{E}}_2\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{J}}_{1}dVdt={\int <!--\; \int \; -->}_{t=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}_{V1}{\mathbf{E}}_1\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{J}}_{2}dVdt}$

该互能定理是由W. J. Welch 于1960年提出的时域互易定理（W. J. Welch）。

J. W. Welch 注意到该定理是适用于一个超前波同一个滞后波。因此该定理是关于超前波的电磁场定理。

赵双任在1987年初发表了互能定理（赵双任）,紧接着又发表了互能定理更多的应用（赵双任）（赵双任），

${\displaystyle -<!--\; -\; -->}$${\displaystyle \text{∯<!-- ∯ -->}}$${\displaystyle \mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}V}$${\displaystyle ({\mathbf{E}}_1\times <!--\; \times \; -->{\mathbf{H}}_2^{\ast <!--\; \ast \; -->}+{\mathbf{E}}_2^{\ast <!--\; \ast \; -->}\times <!--\; \times \; -->{\mathbf{H}}_1)\cdot <!--\; \cdot \; -->d\mathbf{A}}$

${\displaystyle ={\int <!--\; \int \; -->}_V({\mathbf{E}}_1\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{J}}_2^{\ast <!--\; \ast \; -->}+{\mathbf{E}}_2^{\ast <!--\; \ast \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{J}}_1)dV}$

如果两个电磁场${\displaystyle {\mathbf{E}}_1={\mathbf{E}}_1(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}$，${\displaystyle {\mathbf{H}}_1={\mathbf{H}}_1(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}$ 和 ${\displaystyle {\mathbf{E}}_2={\mathbf{E}}_2(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}$，${\displaystyle {\mathbf{H}}_2={\mathbf{H}}_2(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}$ 中一个是超前波，一个是滞后波，可以证明两个波在大球面的面积分为零。因此有，

${\displaystyle \text{∯<!-- ∯ -->}}$${\displaystyle \mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}V}$${\displaystyle ({\mathbf{E}}_1\times <!--\; \times \; -->{\mathbf{H}}_2^{\ast <!--\; \ast \; -->}+{\mathbf{E}}_2^{\ast <!--\; \ast \; -->}\times <!--\; \times \; -->{\mathbf{H}}_1)\cdot <!--\; \cdot \; -->d\mathbf{A}=0}$

因此有，

${\displaystyle {\int <!--\; \int \; -->}_V({\mathbf{E}}_1\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{J}}_2^{\ast <!--\; \ast \; -->}+{\mathbf{E}}_2^{\ast <!--\; \ast \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{J}}_1)dV=0}$

假设${\displaystyle {\mathbf{J}}_1={\mathbf{J}}_1(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}$在体积${\displaystyle V1}$内。${\displaystyle {\mathbf{J}}_2={\mathbf{J}}_2(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}$在体积${\displaystyle V2}$内因此有如下形式的电磁场互能定理，

${\displaystyle -<!--\; -\; -->{\int <!--\; \int \; -->}_{V2}{\mathbf{E}}_2^{\ast <!--\; \ast \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{J}}_{1}dV={\int <!--\; \int \; -->}_{V1}{\mathbf{E}}_1\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{J}}_2^{\ast <!--\; \ast \; -->}dV}$

该定理表明，电流元${\displaystyle {\mathbf{J}}_1}$对 ${\displaystyle {\mathbf{E}}_2}$输出的功率同电流元$$