交换子

✍ dations ◷ 2025-07-03 12:38:37 #量子力学,抽象代数,二元运算,群论

在抽象代数中,一个群的交换子(commutator)或换位子是一个二元运算子。设及 是 群中的元素,他们的交换子是 −1 −1 ,常记为。只有当和符合交换律(即gh = hg)时他们的交换子才是这个群的单位元。

一个群的全部交换子生成的子群叫做群的导群,记作。

G中两个元素g和h的交换子为元素

它等于群的幺元当且仅当g和h可交换(即 = )。

环或结合代数上两个元素和的交换子定义为:

量子力学中,经常用到对易关系(commutation relation),即

其中; A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} 与分别为一维空间中的一点粒子的位置与动量,而 = x p p x {\displaystyle =xp-px} 为所谓 x {\displaystyle x} p {\displaystyle p} 的交换算符, i {\displaystyle i} 是虚数单位, {\displaystyle \hbar } 为约化普朗克常数,等于 h / 2 π {\displaystyle h/2\pi } 。此一关系常归功于马克斯·玻恩,并且此式子暗示了以海森堡为名的不确定性原理。

相对于量子力学,经典物理中所有可观测量都可对易(交换),而交换算符会是零;然而仍然有类似的关系存在:需将交换子换成泊松括号,且常数 i {\displaystyle i\hbar } 换成 1 {\displaystyle 1}

这样的观察导致了保罗·狄拉克提出假设:一般来说,经典的观测量 f , g {\displaystyle f,g} 其量子对应项 f ^ , g ^ {\displaystyle {\hat {f}},{\hat {g}}} 应满足

于1927年,赫尔曼·外尔(Hermann Weyl)指出了量子算符与相空间中经典分布之间的对应关系并不成立。不过他倒是提出了一个机制,称作魏尔量子化(Weyl quantization),为了一种称作形变量子化(deformation quantization)的量子化方法提供了数学途径。

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