交换子

在抽象代数中，一个群的交换子（commutator）或换位子是一个二元运算子。设及 是 群中的元素，他们的交换子是 −1 −1 ，常记为。只有当和符合交换律（即gh = hg）时他们的交换子才是这个群的单位元。

一个群的全部交换子生成的子群叫做群的导群，记作。

群G中两个元素g和h的交换子为元素

它等于群的幺元当且仅当g和h可交换（即 = ）。

环或结合代数上两个元素和的交换子定义为：

量子力学中，经常用到对易关系（commutation relation），即

其中；${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{A}}$与分别为一维空间中的一点粒子的位置与动量，而${\displaystyle =xp-<!--\; -\; -->px}$为所谓${\displaystyle x}$与${\displaystyle p}$的交换算符，${\displaystyle i}$是虚数单位，${\displaystyle \mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}$为约化普朗克常数，等于${\displaystyle h/2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$。此一关系常归功于马克斯·玻恩，并且此式子暗示了以海森堡为名的不确定性原理。

相对于量子力学，经典物理中所有可观测量都可对易（交换），而交换算符会是零；然而仍然有类似的关系存在：需将交换子换成泊松括号，且常数${\displaystyle i\mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}$换成${\displaystyle 1}$：

这样的观察导致了保罗·狄拉克提出假设：一般来说，经典的观测量${\displaystyle f,g}$其量子对应项${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{f},\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{g}}$应满足

于1927年，赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）指出了量子算符与相空间中经典分布之间的对应关系并不成立。不过他倒是提出了一个机制，称作魏尔量子化（Weyl quantization），为了一种称作形变量子化（deformation quantization）的量子化方法提供了数学途径。