质量矩阵

在分析力学中，质量矩阵是质量到广义坐标概念上的推广，它给出了系统广义坐标的变化率和系统动能的关系，即

其中 ${\displaystyle {\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{q}}^{\mathrm{T}}}$, 那么单个粒子的动能为

将系统中每个粒子的位置用表示，可推导出上述的一般关系式。

例如，在一维中讨论两体粒子系统。这样一个系统的位置具有2个自由度，每个粒子的位置都可由广义位置矢量描述：

假设粒子具有质量${\displaystyle m_1}$ 个粒子对应自由度 和+1，那么

在如刚体动力学之类质量是分布式的情况下的应用中，非对角线元素非零的情况也是存在的。

一般地，质量矩阵依赖于位置矢量，且随时间变化。拉格朗日力学中，常微分方程（组）描述了在系统中由粒子的位置所定义的广义坐标矢量随时间的变化。方程中的动能公式表示所有粒子的总动能。

考虑由仅限于直线轨道的两个点状物体。这样一个系统的位置具有2个自由度，每个粒子的位置都可由广义位置矢量描述，即两个粒子沿着轨道的位置：

设粒子的质量分别为 ₁, ₂, 系统的总动能是

也可以写为

其中

更一般地，考虑一个N个粒子的系统，记标号分别为=1, 2, ..., ，其中粒子 的位置是个自由直角坐标（其中是1，2，或3）。令是由坐标形成的列向量。质量矩阵是对角块矩阵，每个块中的对角元素是对应的粒子的质量:

其中 I 是 × 单位阵，更具体地:

₁，₂，连接到一个长度为2的刚性无质量棒的两端。该组件可以自由旋转且在一个固定的平面上。该系统的状态可以由广义坐标向量描述如下：

其中 , 是以棒中点为原点的直角坐标系，角度 是棒转动的角度。两个粒子的位置和速度是：

它们的总动能是:

其中${\displaystyle m=m_1+m_2}$。

对于连续介质力学的离散近似，如在有限元分析中，有多种方法可以构造质量方程，这取决于所期望的计算和精度性能。例如，利用忽略每一有限元变形的集中质量法可以构建一个对角质量矩阵并且不需要通过变形元来累积质量。