壳层定理

✍ dations ◷ 2025-12-02 11:00:15 #万有引力,理论物理,数学物理

壳层定理(Shell Theorem)是古典重力学上的理论，其可简化重力于对称球体内部和外部的贡献，并且在天文学上有特别的应用。壳层定理最先由牛顿在所推演出来，其阐明了

由壳层定理的结果亦可得知，在一质量均匀分布的球体，重力由表面至中心线性递减至零。因为球壳不会对内部物体有重力之贡献，而剩余之质量(不包括球壳)是与3成正比，而重力是正比于/2，因此重力与3/2 = 成正比。在星体运动的分析中，壳层定理是非常重要的，因为其隐含地表示可将星体视为一个质点来计算。除了重力之外，壳层定理亦可描述均匀带电球体所贡献的电场，或者是其他平方反比定律的物理现象。

一个均匀实心的球体可视为由无限多个极薄的球壳所组成，而每个球壳均视为一个质点，所以先考虑以下灰色环状区域:

其中是微分角度，非弧长。根据牛顿万有引力定律，环状区域对质点的重力贡献为

力的方向指向球心。将所有的积分，即为质点之所受重力

接着，将表成与相关的函数。总球壳面积为

而灰色环状区域的面积为

所以灰色环状区域的质量可表为

因此

由余弦定理可知

由0积分至，由0增加到最大值再递减至0，由变化至。积分计算的过程如下图所示。

对前述之余弦定理给出的关系式第二式做隐微分计算可得

因此可变数变换为

所以

即薄球壳贡献之重力如同将所有质量集中于球心。接着，将每一个薄球壳累加起来，即是实心球体对外部物体的重力贡献

在距球心到 + 的球壳质量可写为

因此

即实心球对外部物体的重力贡献如同将所有质量集中于球心。

球内重力情形可直接由球外重力改变之积分上下界推得，即自积分至，各参数的示意图如下所示。

所以薄球壳对内部物体的重力贡献为

即球内物体不受外球壳(无论厚薄)的重力影响。

注意，这边的计算系积分质点外的球壳(即 > )，当 < ，即回到球体之外的重力情况。若质点在实心球内，只有半径小于的那部分球体质量对质点有净力作用，半径大于的那部分球壳对产生的重力场为0。小于那部分球体的质量为

距离球心处的重力场为

质点受到这个实心球体产生的重力为

是一个常数， $k={\frac {GMm}{R^{3}}}$ 才会等于0。同样地，在球壳外的重力为

相关

十字军国家十字军国家指经由十字军东征而建立之拉丁国家，他们建立国家时，一般都会将法兰克人那套成熟的采邑制度移植至新征服地，而他们所征服之地区，一般都会同时设立拉丁主教，这些国家之存
阿雅克肖1法国统计部门在计算土地面积时，不计算面积大于1平方公里的湖泊、池塘、冰川和河口。阿雅克肖（法语：Ajaccio，科西嘉语：Aiacciu），位于法国科西嘉岛西岸，是科西嘉岛的首府，是科西嘉岛最
努克努克（Nuuk），格陵兰自治领地的最大城市，1979年格陵兰实行自治后，成为格陵兰的首府，兼瑟莫苏克自治市政府所在地。都市名称在格陵兰语（因纽特语的一种）中为“岬角”之意。丹麦人及挪威
雪松城雪松城（Cedar City）或翻译做锡达城或喜达尔市是在美国犹他州艾昂县的一个城市，位于15号州际公路盐湖城南方250英里之处。南犹他大学（Southern Utah University）位于该市，而犹他莎
KISHKISH（102.9 FM）是位于关岛的一个广播电台，也是第一个完全播放查莫罗语的音乐电台。由跨岛通信开办，发射台位于阿加尼亚，在2003年5月16日开播。
非洲冕豪猪非洲冕豪猪（）是一种豪猪。它们主要分布在意大利、西西里岛、北非及撒哈拉以南非洲。非洲冕豪猪约长60-90厘米。差不多整个身体都由鬃毛所覆盖，颜色呈深褐色或黑色。它们头部、
埃里希·梅尔克埃里希·梅尔克（德语：Erich Fritz Emil Mielke，1907年12月28日－2000年5月21日），前德意志民主共和国（东德）国家安全部部长，任职期间自1957年10月31日至1989年11月3日。在东德短暂的40
皇甫姓皇甫姓，为汉姓的复姓之一，在华人地区与朝鲜均有此姓氏。
盖文达盖文达（？－？），冀州信都人，唐代大儒。师从刘焯。与兄弟盖文懿皆名儒，人称二盖。文达博览群书，尤精于三家《春秋》，入唐后由文学殿学士升谏议大夫，拜崇贤学士。刺史窦抗曾召集诸生，跟他进行
伊号第二百一潜舰伊号第二〇一潜水舰（いごうだいにひゃくいちせんすいかん）是大日本帝国海军的一艘潜水艇。伊二〇一型潜水舰（潜高大）的1号舰。