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马吕斯定理
✍ dations ◷ 2025-04-05 13:37:46 #马吕斯定理
马吕斯定理是法国物理学家艾蒂安-路易·马吕斯在1808年阐述的一条几何光学的定理。在均匀介质中的光线束,如果有一个共点,例如从同一个点光源发射,这样的光束称为同心光束。同心光束有正交一致性,即光束中所有的一切光线,都和以同源点为中心的一切球面正交。根据光在均匀介质中传播的性质,这些球面无非是光波动光前,光线自然和波前正交。马吕斯定理:“正交一致性光束,经过无论多少次的反射和折射,始终保持正交一致”。1889年瑞利男爵在《大英百科全书》第九版《光学》条中,给出根据费马原理的证明。设同源光束与与曲面m分别在M,M'点正交;这两道光线在传播过程中经过多次反射或折射,分别与界面a相交于A,A'点;与界面b相交于B,B'点,与界面c 相交于C,C'点;经过若干反射、折射后分别到达P,P'点;令光线、
的光程相等;则所有等光程的P,P'的集合,形成一个曲面p。可证明光线与曲面p在P点正交,光线与曲面p在P'点正交,即集合p是光束的正交一致性曲面。证:作两条附加直线M'A和P'C。令M与M'无限接近,因M'A与曲面m 垂直,光线与光线之差是MM'线段的高次微小项即~。但根据费马原理的要求,=,代入前式,可得=;令第一介质和最后介质的折射率分别为n,n',则消除共同线段之后可得:n
∗
M
A
+
n
′
∗
C
P
=
n
∗
M
′
A
+
n
′
∗
C
P
′
{displaystyle n*MA+n'*CP=n*M'A+n'*CP'}由此n
∗
(
M
′
A
−
M
A
)
+
n
′
(
C
P
′
−
C
P
)
=
0
{displaystyle n*(M'A-MA)+n'(CP'-CP)=0}在M和M'无限接近时M'A=MA,于是 CP'=CP;即CP,CP'是等腰三角形的两腰,与PP'夹角相等;当其无限接近时CP,CP'合为一体,垂直于曲面p。同理可证C'P'垂直于p。
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