平面几何

欧几里得几何指按照欧几里得的《几何原本》构造的几何学。欧几里得几何有时就指二维平面上的几何，即平面几何，本文主要描述平面几何。三维空间的欧几里得几何通常叫做立体几何，高维的情形请参看欧几里得空间。数学上，欧几里得几何是指二维平面和三维空间中的几何，基于点线面假设（英语：Point–line–plane postulate）。数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何。其中公设五又称之为平行公设（Parallel Axiom），叙述比较复杂，这个公设衍生出“三角形内角和等于一百八十度”的定理。在高斯（F. Gauss, 1777年—1855年）的时代，公设五就备受质疑，俄罗斯数学家罗巴切夫斯基（Nikolay Ivanovitch Lobachevski）、匈牙利数学家波约（Bolyai）阐明第五公设只是公理系统的一种可能选择，并非必然的几何真理，也就是“三角形内角和不一定等于一百八十度”，从而发现非欧几里得的几何学，即非欧几何（non-Euclidean geometry）。欧几里得几何的传统描述是一个公理系统，通过有限的公理来证明所有的真命题。欧几里得平面几何的五条公理（公设）是：第五条公理称为平行公理（平行公设），可以导出下述命题：平行公理并不像其他公理那么显然。许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理，但都没有成功。19世纪，通过构造非欧几里得几何，说明平行公理是不能被证明的（若从上述公理体系中去掉平行公理，则可以得到更一般的几何，即绝对几何（英语：Absolute geometry））。从另一方面讲，欧几里得几何的五条公理（公设）并不完备。例如，该几何中的定理：在任意直线段上可作一等边三角形。他用通常的方法进行构造：以线段为半径，分别以线段的两个端点为圆心作圆，将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。然而，他的公理并不保证这两个圆必定相交。因此，许多公理系统的修订版本被提出，其中有希尔伯特公理系统（英语：Hilbert's axioms）。欧几里得还提出了五个一般概念，也可以作为公理。当然，之后他还使用量的其他性质。如今，欧几里得几何的构造通常不是通过公理化方法，而是通过解析几何。通过这种方法，可以像证明定理一样证明欧几里得几何（或非欧几里得几何）中的公理。这一方法没有公理方法那么漂亮，但绝对简练。首先，定义点的集合为实数对 ( x , y ) {displaystyle (x,y)} 的集合。给定两个点 P = ( x , y ) {displaystyle P=(x,y)} 和 Q = ( z , t ) {displaystyle Q=(z,t)} ，定义距离：这就是欧几里得度量。所有其他概念，如直线、角、圆可以通过作为实数对的点和之间的距离来定义。例如通过点 P {displaystyle P} 和 Q {displaystyle Q} 的直线可以定义成点的集合 A {displaystyle A} 满足