广义坐标

广义坐标是不特定的坐标。假若，我们用一组广义坐标来导引方程，所得到的答案，可以应用于较广泛的问题；并且，当我们最后终于设定这坐标时，答案仍旧是正确的。拉格朗日力学，哈密顿力学都需要用到广义坐标来表示基要概念与方程。

当分析有的问题时（尤其是当有许多约束条件的时候），最好尽量选择独立的广义坐标。因为，这样可以减少代表约束的变数。但是，当遇到非完整约束时，或者当计算约束力时，就必须使用关于这约束力的，相依的广义坐标。

在三维空间里，假设一个物理系统拥有${\displaystyle n}$颗粒子；那么，这系统的自由度是${\displaystyle 3n}$。再假设这系统有${\displaystyle h}$个完整约束；那么，这系统的自由度变为${\displaystyle m=3n-<!--\; -\; -->h}$。必须用${\displaystyle m}$个独立广义坐标${\displaystyle (q_1,q_2,\dots <!--\; \dots \; -->,q_m)}$与时间${\displaystyle t}$来完全描述这系统的运动。坐标的转换方程可以表示如下：

虽然我们可能会遇到复杂的系统时，这转换方程具有足够的灵活性来选择最合适的坐标。在思考虚位移与广义力时，这转换方程也可以用来建造微分。

一个复摆，被约束地移动于一垂直平面，可以用四个直角坐标${\displaystyle \{x_1,y_1,x_2,y_2\}}$来描述。但是，这系统的自由度是2；我们可以用两个广义坐标来更精简地描述这双摆运动：

这里，

一粒珠子，被约束地移动在一条穿过它的铁丝上，自由度是1。它的运动可以用一个广义坐标来描述

这里，${\displaystyle s}$是珠子离铁丝上一个参考点的径长。这三维空间运动已被减缩为一维空间运动了。

一个物体，被约束在一个表面上，自由度是2；虽然它的运动也是嵌在三维空间里。如果这表面是球表面，一个很好的选择是

这里，${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$与${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}$是球坐标系的角坐标。因为${\displaystyle r}$坐标是常数，可以被忽略掉。