庞特里亚金最大化原理

✍ dations ◷ 2025-04-04 11:13:03 #庞特里亚金最大化原理

庞特里亚金最大化原理(Pontryagin's maximum principle)也根据使用条件称为庞特里亚金最小化原理或最大值原理及最小值原理,是最优控制中的理论,是在状态或是输入控件有限制条件的情形下,可以找到将动力系统由一个状态到另一个状态的最优控制信号。此理论是苏俄数学家列夫·庞特里亚金及他的学生在1956年提出的。这是变分法中欧拉-拉格朗日方程的特例。

简单来说,此定理是指在所有可能的控制中,需让“控制哈密顿量”(control Hamiltonian)取极值,极值是最大值或是最小值则依问题以及哈密顿量的符号定义而不同。正式的用法,也就是哈密顿量中所使用的符号,会取到最大值,但是此条目中使用的符号定义方式,会让极值取到最小值。

U {displaystyle {mathcal {U}}} 是所有可能控制值的集合,则此原理指出,最优控制 u {displaystyle u^{*}} 必须满足以下条件:

其中 x C 1 {displaystyle x^{*}in C^{1}} 是最佳状态轨迹,而 λ B V {displaystyle lambda ^{*}in BV} 是最佳 协态轨迹

此结果最早成功的应用在输入控制有限制条件的最小时间问题中,不过也可以用在状态有限制条件的问题中。

也可以推导控制哈密顿量的特殊条件。若最终时间 t f {displaystyle t_{f}} 固定,且控制哈密顿量不是时间的显函数 ( H t 0 ) {displaystyle left({tfrac {partial H}{partial t}}equiv 0right)} ,则:

若最终时间没有限制,则:

若在某一轨迹上满足庞特里亚金最大化原理,此原理是最佳解的必要条件。哈密顿-雅可比-贝尔曼方程 提供了最佳解的充份必要条件,但该条件须在整个状态空间中都要成立。

此定理一开始的名称是庞特里亚金最大化原理(Pontryagin's maximum principle),其证明也是以控制哈密顿量最大化为基础。此原理最早的应用是要最大化火箭的终端速度。不过后来此定理大部分的应用是使性能指标最小化,因此常称为庞特里亚金最小化原理。庞特里亚金的书解出了要让性能指标最小化的问题

以下的内容会使用这些表示方式

以下是让泛函最小化的必要条件。令 x {displaystyle x} 为在输入为 u {displaystyle u} 时,动态系统的状态,且满足以下条件

其中

控制 u U {displaystyle uin {mathcal {U}}} 需在所有 t {displaystyle tin } 内使目标泛函 J {displaystyle J} 最小化,目标泛函 J {displaystyle J} 随应用而定,可以写成

系统动态的限制可以用导入时变拉格朗日乘数向量 λ {displaystyle lambda } 的方式和 L {displaystyle L} 相加,而拉格朗日乘数向量 λ {displaystyle lambda } 的元素称为系统的协态(costate)。因此可以建构在所有 t {displaystyle tin } 的哈密顿量为:

其中 λ T {displaystyle lambda ^{rm {T}}} λ {displaystyle lambda } 的转置。

庞特里亚金最小化原理提到最佳状态轨迹 x {displaystyle x^{*}} ,最佳控制 u {displaystyle u^{*}} 及对应的拉格朗日乘数向量 λ {displaystyle lambda ^{*}} 必需最小化哈密顿量 H {displaystyle H} ,因此

针对所有 t {displaystyle tin } 时间,也针对所有可能的控制输入 u U {displaystyle uin {mathcal {U}}} 。以下的式子也必须成立

而且也要满足以下的协态方程

若最终状态 x ( T ) {displaystyle x(T)} 没有固定(其微分变异不为0),最终协态也要满足以下条件

上述(1)-(4)的条件是最佳控制的必要条件。公式(4)只有在 x ( T ) {displaystyle x(T)} 没有固定时才需要成立。若 x ( T ) {displaystyle x(T)} 是固定值,公式(4)不在必要条件中。

此解法可以应用在宇宙学和天体物理学中 。

相关

  • 浮霉菌门浮霉菌门(Planctomycetes)是一小门水生细菌,在海水、半咸水、淡水中都可被发现。其中浮霉菌属(Planctomyces)和小梨形菌属(Pirellula)等都是专性好氧菌。它们通过出芽法繁殖
  • 安德鲁·泰勒·斯提耳安德鲁·泰勒·斯提耳(英语:Andrew Taylor Still,1828年8月6日-1917年12月12日),生于美国维吉尼亚州李县,为一名外科医生,被认为是整骨疗法之父。他建立了世界第一间整骨疗法的学校,A
  • 卡德加·普拉萨德·奥利卡德加·普拉萨德·夏尔马·奥利(尼泊尔语:खड्ग प्रसाद शर्मा ओली;1952年2月22日-)是尼泊尔的一名共产主义政治家。2014年7月,他成为尼泊尔共产党(联合马列)主席
  • 光炮光炮(Phaser)是科幻创作星舰奇航记中出现的武器之一,又称相位枪、相位炮、死光枪,英文上是“相位能量重整”(PHASed Energy Rectification)的缩写,是一种星际联邦所辖星际舰队所使
  • 康家语康家语 是中国青海省回族康家人的语言,属于阿尔泰语系蒙古语族东蒙古语支,集中使用在黄南藏族自治州尖扎县。有元音和谐的现象,且向藏语,波斯语,阿拉伯语,突厥语等语言借用词汇。
  • 托马斯·哈维托马斯·斯托尔茨·哈维(英语:Thomas Stoltz Harvey,1912年10月10日-2007年4月5日)是一名病理学家,于1955年对阿尔伯特·爱因斯坦进行尸检。哈维后来在未经许可的情况下将爱因斯坦
  • 芒格奥芒格奥(Mango),是印度贾坎德邦Purbi Singhbhum县的一个城镇。总人口166091(2001年)。该地2001年总人口166091人,其中男性87322人,女性78769人;0—6岁人口23990人,其中男12286人,女1170
  • 豪尔赫蒙特岛豪尔赫蒙特岛是智利的岛屿,位于该国南部麦哲伦海峡以北的太平洋海域,由麦哲伦-智利南极大区负责管辖,面积537平方公里,阿拉卡卢夫人自6,000年前聚居该岛沿岸。坐标:51°20′S 74
  • 福盛和男福盛 和男(ふくもり かずお、1976年8月4日 - ),曾经效力过横滨湾星、大阪近铁野牛、东北乐天金鹰及美国职棒大联盟德州游骑兵。
  • 让卢普·西夫让卢普·西夫(Jeanloup Sieff,1933年11月30日-2000年9月20日),波兰裔,是法国著名的时尚摄影师。