八次方程

✍ dations ◷ 2025-07-02 20:22:36 #方程,伽罗瓦理论,多项式

八次方程是可以用下式表示的方程

其中 ≠ 0。

而八次函数是可以用下式表示的函数:

f ( x ) = a x 8 + b x 7 + c x 6 + d x 5 + e x 4 + f x 3 + g x 2 + h x + k , {\displaystyle f(x)=ax^{8}+bx^{7}+cx^{6}+dx^{5}+ex^{4}+fx^{3}+gx^{2}+hx+k,} () = 0,即可得到八次方程。

八次方程的系数, , , , , , , , 可以是整数、有理数、复数或是任何一种域的元素。

由于一个八次函数是由偶数多项式定义,当变元往正值或负值无穷时,它拥有一样的无穷的极限。如果首项系数a是正值,那么函数在两边增加到正无穷大;因此该函数具有全域极小值。同样地,如果a是负值,八次函数减少到负无穷大和具有全域极大值。八次函数的导数是七次函数。

透过阿贝尔-鲁菲尼定理,就其参数而言没有一般的代数式能解八次方程。然而,一些八次方的子类(sub-classes)有这样的公式。

普通的,具有正值k的形式的八次方

x 8 = k {\displaystyle x^{8}=k} 4中

a x 8 + e x 4 + k = 0 {\displaystyle ax^{8}+ex^{4}+k=0} 2中的四次方程

a x 8 + c x 6 + e x 4 + g x 2 + k = 0 {\displaystyle ax^{8}+cx^{6}+ex^{4}+gx^{2}+k=0}

来求解形式的八次方。

在某些情况下,(通过垂直线划分成四个相等面积的区域)一个三角形的垂直线的四分之一部分是一个八次方程的解。

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