非线性系统

在物理科学中，如果描述某个系统的方程其输入（自变数）与输出（应变数）不成正比，则称为非线性系统。由于自然界中大部分的系统本质上都是非线性的，因此许多工程师、物理学家、数学家和其他科学家对于非线性问题的研究都极感兴趣。非线性系统和线性系统最大的差别在于，非线性系统可能会导致混沌、不可预测，或是不直观的结果。

一般来说，非线性系统的行为在数学上是用一组非线性联立方程来描述的。非线性方程里含有由未知数构成的非一次多项式；换句话说，一个非线性方程并不能写成其未知数的线性组合。而非线性微分方程，则是指方程里含有未知函数及其导函数的乘幂不等于一的项。在判定一个方程是线性或非线性时，只需考虑未知数（或未知函数）的部分，不需要检查方程中是否有已知的非线性项。例如在微分方程中，若所有的未知函数、未知导函数皆为一次，即使出现由某个已知变数所构成的非线性函数，我们仍称它是一个线性微分方程。

由于非线性方程非常难解，因此我们常常需要以线性方程来近似一个非线性系统（线性近似）。这种近似对某范围内的输入值（自变数）是很准确的，但线性近似之后反而会无法解释许多有趣的现象，例如孤波、混沌和奇点。这些奇特的现象，也常常让非线性系统的行为看起来违反直觉、不可预测，或甚至混沌。虽然“混沌的行为”和“随机的行为”感觉很相似，但两者绝对不能混为一谈；也就是说，一个混沌系统的行为绝对不是随机的。

举例来说，许多天气系统就是混沌的，微小的扰动即可导致整个系统产生各种不同的复杂结果。就目前的科技而言，这种天气的非线性特性即成了长期天气预报的绊脚石。

某些书的作者以非线性科学来代指非线性系统的研究，但也有人不以为然：

“在科学领域里使用‘非线性科学’这个词，就如同把动物学里大部分的研究对象称作‘非大象动物’一样可笑。”

在数学上，一个线性函数（映射）${\displaystyle f(x)}$ 是有理数的情况下，一个可叠加函数必定是齐次函数（在讨论线性与否时，齐次函数专指一次齐次函数）；若 ${\displaystyle f(x)}$ 是任意实数，就可以从叠加性推出齐次。然而在推广至任意复数 时，叠加性便再也无法导出齐次了。也就是说，在复数的世界里存在一种反线性映射，它满足叠加性，但却非齐次。叠加性和齐次这两个条件常会被合并在一起，称之为叠加原理：

对于一个表示为

的方程，如果 ${\displaystyle f(x)}$ 无关的项 ，即任何项皆和 有关）。

这里 ${\displaystyle f(x)=C}$ = 0（即通解在 趋近于无限大时的极限）。此方程是非线性的，因为它可以被改写为

而等号左边并不是 的线性映射。若把此式的 2 换成 ，则会变成线性方程（指数衰减）。

二阶和高阶非线性常微分方程组的解几乎无法表示成解析解，反而较常表为隐函数或非初等函数积分的形式。

分析常微分方程常用的方法包括：

研究非线性偏微分方程最常见也最基础的方法就是变数变换，变换以后的方程会较简单，甚至有可能会变成线性方程。有时候，变数变换后的方程可能会变成一个或两个以上的常微分方程（如同用分离变数法解偏微分方程），不管这些常微分方程可不可解，都能帮助我们了解这个系统的行为。

另一个流体力学和热力学里常用的方法（但数学性较低），是利用尺度分析来简化一个较一般性的方程，使它仅适用在某个特定的边界条件上。例如，在描述一个圆管内一维层流的暂态时，我们可以把非线性的纳维-斯托克斯方程简化成一个线性偏微分方程；这时候尺度分析提供了两个特定的边界条件：一维和层流。

其他分析非线性偏微分方程的方法还有特征线法，以及上述分析常微分方程时常用的方法。

非线性问题的一个典型的例子，就是重力作用之下单摆的运动。单摆的运动可由以下的方程来描述（用拉格朗日力学可以证明）：

这是一个非线性且无量纲的方程，${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$ 是单摆和它静止位置所夹的角度，如动画所示。此方程的一个解法是将 ${\displaystyle \frac{d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}{dt}}$ 视为积分因子，积分以后得

上述的解是隐解的形式，同时也包含了椭圆积分。这个解通常没有什么用，因为非初等函数积分（即使 ${\displaystyle C_0=0}$ 仍然是非初等函数）把解的各种特性隐藏了起来，使我们不易看出单摆系统的行为。

另一个解法是把这个非线性方程作线性近似：利用泰勒展开式将非线性的 sine 函数线性化，并在某些特定的点附近讨论解的情形。例如，若在 ${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=0}$ 的点附近作线性近似（又称小角度近似），${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}\approx <!--\; \approx \; -->0}$ 时，${\displaystyle \sin <!--\; \; -->(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$，故原方程可以改写为

近似后的方程变成了简谐振荡，因此当单摆运动到底部附近时，可以对应到一个简谐振子。而若在 ${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$（即当单摆运动到圆弧的最高点时）附近作线性近似，${\displaystyle \sin <!--\; \; -->(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})=\sin <!--\; \; -->(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$，故原方程可以改写为

这个方程的解含有双曲正弦函数，因此和小角度近似不同，这个近似是不稳定的，也就是说 ${\displaystyle |\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}|}$ 会无限制地增加（但此近似方程的解也可能是有界的）。当我们把解对应回单摆系统后，就可以了解为什么单摆在圆弧的最高点时不能达到稳定平衡，也就是说，单摆在最高点时是不稳定的状态。

另一个有趣的线性近似是在 ${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}}$ 附近，此时 ${\displaystyle \sin <!--\; \; -->(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})\approx <!--\; \approx \; -->1}$，故原方程可以改写为

这个近似后的方程可以对应到自由落体。

若把以上线性近似的结果合在一起看，就能大致了解单摆的运动情形。利用其他解非线性微分方程的方法，可以进一步帮助我们找到更精确的相图，或是估算单摆的周期。