非线性系统

✍ dations ◷ 2025-04-04 11:56:08 #非线性系统,动力系统,基本物理概念

在物理科学中,如果描述某个系统的方程其输入(自变数)与输出(应变数)不成正比,则称为非线性系统。由于自然界中大部分的系统本质上都是非线性的,因此许多工程师、物理学家、数学家和其他科学家对于非线性问题的研究都极感兴趣。非线性系统和线性系统最大的差别在于,非线性系统可能会导致混沌、不可预测,或是不直观的结果。

一般来说,非线性系统的行为在数学上是用一组非线性联立方程来描述的。非线性方程里含有由未知数构成的非一次多项式;换句话说,一个非线性方程并不能写成其未知数的线性组合。而非线性微分方程,则是指方程里含有未知函数及其导函数的乘幂不等于一的项。在判定一个方程是线性或非线性时,只需考虑未知数(或未知函数)的部分,不需要检查方程中是否有已知的非线性项。例如在微分方程中,若所有的未知函数、未知导函数皆为一次,即使出现由某个已知变数所构成的非线性函数,我们仍称它是一个线性微分方程。

由于非线性方程非常难解,因此我们常常需要以线性方程来近似一个非线性系统(线性近似)。这种近似对某范围内的输入值(自变数)是很准确的,但线性近似之后反而会无法解释许多有趣的现象,例如孤波、混沌和奇点。这些奇特的现象,也常常让非线性系统的行为看起来违反直觉、不可预测,或甚至混沌。虽然“混沌的行为”和“随机的行为”感觉很相似,但两者绝对不能混为一谈;也就是说,一个混沌系统的行为绝对不是随机的。

举例来说,许多天气系统就是混沌的,微小的扰动即可导致整个系统产生各种不同的复杂结果。就目前的科技而言,这种天气的非线性特性即成了长期天气预报的绊脚石。

某些书的作者以非线性科学来代指非线性系统的研究,但也有人不以为然:

“在科学领域里使用‘非线性科学’这个词,就如同把动物学里大部分的研究对象称作‘非大象动物’一样可笑。”

在数学上,一个线性函数(映射) f ( x ) {\displaystyle f(x)} 是有理数的情况下,一个可叠加函数必定是齐次函数(在讨论线性与否时,齐次函数专指一次齐次函数);若 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 是任意实数,就可以从叠加性推出齐次。然而在推广至任意复数 时,叠加性便再也无法导出齐次了。也就是说,在复数的世界里存在一种反线性映射,它满足叠加性,但却非齐次。叠加性和齐次这两个条件常会被合并在一起,称之为叠加原理:

对于一个表示为

的方程,如果 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 无关的项 ,即任何项皆和 有关)。

这里 f ( x ) = C {\displaystyle f(x)=C} = 0(即通解在 趋近于无限大时的极限)。此方程是非线性的,因为它可以被改写为

而等号左边并不是 的线性映射。若把此式的 2 换成 ,则会变成线性方程(指数衰减)。

二阶和高阶非线性常微分方程组的解几乎无法表示成解析解,反而较常表为隐函数或非初等函数积分的形式。

分析常微分方程常用的方法包括:

研究非线性偏微分方程最常见也最基础的方法就是变数变换,变换以后的方程会较简单,甚至有可能会变成线性方程。有时候,变数变换后的方程可能会变成一个或两个以上的常微分方程(如同用分离变数法解偏微分方程),不管这些常微分方程可不可解,都能帮助我们了解这个系统的行为。

另一个流体力学和热力学里常用的方法(但数学性较低),是利用尺度分析来简化一个较一般性的方程,使它仅适用在某个特定的边界条件上。例如,在描述一个圆管内一维层流的暂态时,我们可以把非线性的纳维-斯托克斯方程简化成一个线性偏微分方程;这时候尺度分析提供了两个特定的边界条件:一维和层流。

其他分析非线性偏微分方程的方法还有特征线法,以及上述分析常微分方程时常用的方法。

非线性问题的一个典型的例子,就是重力作用之下单摆的运动。单摆的运动可由以下的方程来描述(用拉格朗日力学可以证明):

这是一个非线性且无量纲的方程, θ {\displaystyle \theta } 是单摆和它静止位置所夹的角度,如动画所示。此方程的一个解法是将 d θ d t {\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}} 视为积分因子,积分以后得

上述的解是隐解的形式,同时也包含了椭圆积分。这个解通常没有什么用,因为非初等函数积分(即使 C 0 = 0 {\displaystyle C_{0}=0} 仍然是非初等函数)把解的各种特性隐藏了起来,使我们不易看出单摆系统的行为。

另一个解法是把这个非线性方程作线性近似:利用泰勒展开式将非线性的 sine 函数线性化,并在某些特定的点附近讨论解的情形。例如,若在 θ = 0 {\displaystyle \theta =0} 的点附近作线性近似(又称小角度近似), θ 0 {\displaystyle \theta \approx 0} 时, sin ( θ ) θ {\displaystyle \sin(\theta )\approx \theta } ,故原方程可以改写为

近似后的方程变成了简谐振荡,因此当单摆运动到底部附近时,可以对应到一个简谐振子。而若在 θ = π {\displaystyle \theta =\pi } (即当单摆运动到圆弧的最高点时)附近作线性近似, sin ( θ ) = sin ( π θ ) π θ {\displaystyle \sin(\theta )=\sin(\pi -\theta )\approx \pi -\theta } ,故原方程可以改写为

这个方程的解含有双曲正弦函数,因此和小角度近似不同,这个近似是不稳定的,也就是说 | θ | {\displaystyle |\theta |} 会无限制地增加(但此近似方程的解也可能是有界的)。当我们把解对应回单摆系统后,就可以了解为什么单摆在圆弧的最高点时不能达到稳定平衡,也就是说,单摆在最高点时是不稳定的状态。

另一个有趣的线性近似是在 θ = π 2 {\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{2}}} 附近,此时 sin ( θ ) 1 {\displaystyle \sin(\theta )\approx 1} ,故原方程可以改写为

这个近似后的方程可以对应到自由落体。

若把以上线性近似的结果合在一起看,就能大致了解单摆的运动情形。利用其他解非线性微分方程的方法,可以进一步帮助我们找到更精确的相图,或是估算单摆的周期。

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