置换矩阵

在数学中的矩阵论里，置换矩阵（英语：permutation matrix）是一种系数只由0和1组成的方块矩阵。置换矩阵的每一行和每一列都恰好有一个1，其余元素都是0。在线性代数中，每个阶的置换矩阵都代表了一个对个元素（维空间的基）的置换。当一个矩阵乘上一个置换矩阵时，所得到的是原来矩阵的横行（置换矩阵在左）或纵列（置换矩阵在右）经过置换后得到的矩阵。

每个元置换都对应着唯一的一个置换矩阵。设π 为一个元置换：

给出其映射图：

它对应的的置换矩阵_π是：在第横行只有π()位置上系数为1，其余为0。即可以写做：

其中每个${\displaystyle {\mathbf{e}}_j}$个，也就是一个左起第个元素为1，其余都是0的元横排数组。

由于单位矩阵是

置换矩阵也可以定义为单位矩阵的某些行和列交换后得到的矩阵。

对两个元置换π 和 σ的置换矩阵_π 和_σ，有

一个置换矩阵_π 必然是正交矩阵（即满足${\displaystyle P_{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{P}_{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^T=I}$是n次对称群，由于置换一共有! 个，阶的置换矩阵也有! 个。这! 个置换矩阵构成一个关于矩阵乘法的群。这个群的单位元就是单位矩阵。设是所有阶的置换矩阵的集合。映射 → A ⊂ GL(, Z₂)是一个群的忠实表示。

对一个置换σ，其对应的置换矩阵_σ是将单位矩阵的横行进行 σ 置换，或者将单位矩阵的横行进行 σ−1 置换得到的矩阵。

置换矩阵是双随机矩阵的一种。伯克霍夫-冯·诺伊曼定理说明每个双随机矩阵都是同阶的置换矩阵的凸组合，并且所有的置换矩阵构成了双随机矩阵集合的所有端点。

置换矩阵_σ的迹数等于相应置换σ的不动点的个数。设 ₁、₂、……、 为其不动点的序号，则₁、₂、……、 是_σ的特征向量。

由群论可以知道，每个置换都可以写成若干个对换的复合。由此可知，置换矩阵_σ都可以写成若干个表示两行交换的初等矩阵的乘积。_σ的行列式就等于 σ 的符号差。

对应于置换π = (1 4 2 5 3)的置换矩阵_π 是

给定一个向量 g，

置换矩阵概念的一个推广是将方阵的情况推广到一般矩阵的情况：

这时一个0-1矩阵是置换矩阵当且仅当它的每一行恰有一个1，每一列至多有一个1。

置换矩阵概念的另一个推广是将每行的1变为一个非零的实数：

这时的置换矩阵可以看做由0和1组成的置换矩阵与一个对角矩阵相乘的结果。