埃伦费斯特定理

在量子力学里，埃伦费斯特定理（Ehrenfest theorem）表明，量子算符的期望值对于时间的导数，跟这量子算符与哈密顿算符的对易算符，两者之间的关系，以方程表达为其中， A {displaystyle A} 是某个量子算符， ⟨ A ⟩ {displaystyle langle Arangle } 是它的期望值， H {displaystyle H} 是哈密顿算符， t {displaystyle t} 是时间， ℏ {displaystyle hbar } 是约化普朗克常数。埃伦费斯特定理是因物理学家保罗·埃伦费斯特命名。在量子力学的海森堡绘景里，埃伦费斯特定理非常显而易见；取海森堡方程的期望值，就可以得到埃伦费斯特定理。埃伦费斯特定理与哈密顿力学的刘维尔定理密切相关；刘维尔定理使用的泊松括号，对应于埃伦费斯特定理的对易算符。实际上，从根据经验法则，将对易算符换为泊松括号乘以 i ℏ {displaystyle ihbar } ，再取 i ℏ {displaystyle ihbar } 趋向于 0 的极限，含有对易算符的量子定理就可以改变为含有泊松括号的经典定理。假设，一个物理系统的量子态为 Φ ( x ,   t ) {displaystyle Phi (x, t)} ，则算符 A {displaystyle A} 的期望值对于时间的导数为薛定谔方程表明哈密顿算符 H {displaystyle H} 与时间 t {displaystyle t} 的关系为其共轭复数为因为哈密顿算符是厄米算符， H ∗ = H {displaystyle H^{*}=H} 。所以，将这三个方程代入 d d t ⟨ A ⟩ {displaystyle {frac {d}{dt}}langle Arangle } 的方程，则可得到所以，埃伦费斯特定理成立：使用埃伦费斯特定理，可以简易地证明，假若一个物理系统的哈密顿量显性地不含时间，则这系统是保守系统。从埃伦费斯特定理，可以计算任何算符的期望值对于时间的导数。特别而言，速度的期望值和加速度的期望值。知道这些资料，就可以分析量子系统的运动行为。思考哈密顿算符 H {displaystyle H} ：假若，哈密顿量显性地不含时间， ∂ H ∂ t = 0 {displaystyle {frac {partial H}{partial t}}=0} ，则哈密顿量是个常数 H 0 {displaystyle H_{0}} 。试想一个质量为 m {displaystyle m} 的粒子，移动于一维空间．其哈密顿量是其中， x {displaystyle x} 为位置， p {displaystyle p} 是动量， V {displaystyle V} 是位势。应用埃伦费斯特定理，由于 x p p − p p x = i 2 ℏ p {displaystyle xpp-ppx=i2hbar p} ，位置的期望值对于时间的导数等于速度的期望值：这样，可以得到动量 p {displaystyle p} 的期望值。应用埃伦费斯特定理，由于 p {displaystyle p} 与自己互相交换，所以， [ p ,   p 2 ] = 0 {displaystyle =0} 。又在坐标空间里，动量算符 p = ℏ i ∂ ∂ x {displaystyle p={frac {hbar }{i}}{frac {partial }{partial x}}} 不含时间： ∂ p ∂ t = 0 {displaystyle {frac {partial p}{partial t}}=0} 。所以，将泊松括号展开，使用乘法定则，在量子力学里，动量的期望值对于时间的导数，等于作用力 F {displaystyle F} 的期望值。取经典极限， ⟨ ∂ V ( x ) ∂ x ⟩ ≈ ∂ V ( ⟨ x ⟩ ) ∂ ⟨ x ⟩ {displaystyle leftlangle {frac {partial V(x)}{partial x}}rightrangle approx {frac {partial V(langle xrangle )}{partial langle xrangle }}} ，则可得到一组完全的量子运动方程：这组量子运动方程，精确地对应于经典力学的运动方程：取“经典极限”，量子力学的定律约化为经典力学的定律。这结果也时常被称为埃伦费斯特定理。这经典极限是什么呢？标记 V ′ ( x ) {displaystyle V,'(x)} 为 ∂ V ( x ) ∂ x {displaystyle {frac {partial V(x)}{partial x}}} 。设定 ⟨ x ⟩ = x 0 {displaystyle langle xrangle =x_{0}} 。泰勒展开 V ′ ( x ) {displaystyle V,'(x)} 于 x 0 {displaystyle x_{0}} ：由于 ⟨ x − x 0 ⟩ = 0 {displaystyle langle x-x_{0}rangle =0} ， ⟨ ( x − x 0 ) 2 ⟩ = σ x 2 {displaystyle langle (x-x_{0})^{2}rangle =sigma _{x}^{2}} ，这近似方程右手边的第二项目就是误差项目。只要这误差项目是可忽略的，就可以取经典极限。而这误差项目的大小跟以下两个因素有关：