自伴算子

在数学里，作用于一个有限维的内积空间，一个自伴算子（self-adjoint operator）等于自己的伴随算子；等价地说，在一组单位酉正交基下，表达自伴算子的矩阵是埃尔米特矩阵。埃尔米特矩阵等于自己的共轭转置。根据有限维的谱定理，必定存在着一个正交归一基，可以表达自伴算子为一个实值的对角矩阵。

在量子力学里，自伴算子，又称为自伴算符，或厄米算符（Hermitian operator），是一种等于自己的厄米共轭的算符。给予算符${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{O}}$和其伴随算符${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{O}}^{†<!--\; †\; -->}}$，假设${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{O}={\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{O}}^{†<!--\; †\; -->}}$ ，则称${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{O}}$为厄米算符。厄米算符的期望值可以表示量子力学中的物理量。

由于每一种经过测量而得到的物理量都是实值的。所以，可观察量${\displaystyle O}$的期望值是实值的：

对于任意量子态${\displaystyle |\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->}$，这关系都成立；

根据伴随算符的定义，假设${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{O}}^{†<!--\; †\; -->}}$是${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{O}}$的伴随算符，则${\displaystyle ⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}|\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{O}|\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}{⟩<!--\; ⟩\; -->}^{\ast <!--\; \ast \; -->}=⟨<!--\; ⟨\; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}|{\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{O}}^{†<!--\; †\; -->}|\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->}$。因此，

这正是厄米算符的定义。所以，表示可观察量的算符${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{O}}$，都是厄米算符。

可观察量，像位置，动量，角动量，和自旋，都是用作用于希尔伯特空间的自伴算符来代表。哈密顿算符${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{H}}$是一个很重要的自伴算符，表达为

其中，${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}$是粒子的波函数，${\displaystyle \mathrm{\hslash <!--\; \hslash \; -->}}$是约化普朗克常数，${\displaystyle m}$是质量，${\displaystyle V}$是位势。

哈密顿算符所代表的哈密顿量是粒子的总能量，一个可观察量。

动量是一个可观察量，动量算符应该也是厄米算符：选择位置空间，量子态${\displaystyle |\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->}$的波函数为${\displaystyle \mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)}$，

对于任意量子态${\displaystyle |\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}⟩<!--\; ⟩\; -->}$，${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{p}={\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{p}}^{†<!--\; †\; -->}}$。所以，动量算符确实是一个厄米算符。

Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004: pp. 96–106. ISBN 0-13-111892-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link)