边值问题

✍ dations ◷ 2025-04-04 11:10:36 #微分方程,边界条件

在微分方程中，边值问题是一个微分方程和一组称之为边界条件的约束条件。边值问题的解通常是符合约束条件的微分方程的解。

物理学中经常遇到边值问题，例如波动方程等。许多重要的边值问题属于Sturm-Liouville问题。这类问题的分析会和微分算子的本征函数有关。

在实际应用中，边值问题应当是适定的（即：存在解，解唯一且解会随着初始值连续的变化）。许多偏微分方程领域的理论提出是为要证明科学及工程应用的许多边值问题都是适定问题。

最早研究的边值问题是狄利克雷问题，是要找出调和函数，也就是拉普拉斯方程的解，后来是用狄利克雷原理找到相关的解。

边值问题类似初值问题，边值问题的条件是在区域的边界上，而初值问题的条件都是在独立变量及其导数在某一特定值时的数值（一般是定义域的下限，所以称为初值问题）。

例如独立变量是时间，定义域为，边值问题的条件会是 $y(t)$ $y(t)$ 在 $t=0$ $t=0$ 及 $t=1$ $t=1$ 时的数值，而初值问题的条件会是 $t=0$ $t=0$ 时的 $y(t)$ $y(t)$ 及 $y'(t)$ $y'(t)$ 之值。

若铁棒的一端为绝对零度，另一端温度为水的凝固点，要找到铁棒温度随位置的变化即为一个边值问题。

若问题和时间和空间都有关，边界条件需为某一个特定点下所有时间对应的值，以及某一个特定时间时所有位置对应的值。

以下是一个边值问题的例子

要求解满足以下边界条件的函数 $y(x)$ $y(x)$

若没有边界条件，以上微分方程的通解是

根据边界条件 $y(0)=0$ $y(0)=0$ ，可得

可以得到 $B=0$ $B=0$ 的结论。根据边界条件 $y(\pi /2)=2$ $y(\pi /2)=2$ ，可得

因此 $A=2$ $A=2$ 。因此可以找到满足上述边界条件的唯一解，即为

根据条件的形式，边值条件分以下三类：

边值条件也可以根据边值问题对应的微分算子来分类：若是使用椭圆算子，则问题为椭圆边值问题；使用双曲线算子，则问题为双曲线边值问题。依微分算子还可以将问题再细分为线性及非线性等。

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