在数学里,特别是将线性代数套用到物理时,爱因斯坦求和约定(Einstein summation convention)是一种标记的约定,又称为爱因斯坦标记法(Einstein notation),在处理关于坐标的方程式时非常有用。这约定是由阿尔伯特·爱因斯坦于1916年提出的。后来,爱因斯坦与友人半开玩笑地说:“这是数学史上的一大发现,若不信的话,可以试着返回那不使用这方法的古板日子。”
按照爱因斯坦求和约定,当一个单独项目内有标号变数出现两次,一次是上标,一次是下标时,则必须总和所有这单独项目的可能值。通常而言,标号的标值为1、2、3(代表维度为三的欧几里得空间),或0、1、2、3(代表维度为四的时空或闵可夫斯基时空)。但是,标值可以有任意值域,甚至(在某些应用案例里)无限集合。这样,在三维空间里,
的意思是
请特别注意,上标并不是指数,而是标记不同坐标。例如,在直角坐标系里,
、
、
分别表示
坐标、
坐标、
坐标,而不是
、
的平方、
的立方。
爱因斯坦标记法的基本点子是余向量与向量可以形成标量:
通常会将这写为求和公式形式:
在基底变换之下,标量保持不变。当基底改变时,一个向量的线性变换可以用矩阵来描述,而余向量的线性变换则需用其逆矩阵来描述。这样的设计为的是要保证,不论基底为何,伴随余向量的线性函数(即上述总和)保持不变。由于只有总和不变,而总和所涉及的每一个项目都有可能会改变,所以,爱因斯坦提出了这标记法,重复标号表示总和,不需要用到求和符号:
采用爱因斯坦标记法,余向量都是以下标来标记,而向量都是以上标来标记。标号的位置具有特别意义。请不要将上标与指数混淆在一起,大多数涉及的方程式都是线性,不超过变数的一次方。在方程式里,单独项目内的标号变数最多只会出现两次,假若多于两次,或出现任何其它例外,则都必须特别加以说明,才不会造成含意混淆不清。
在线性代数里,采用爱因斯坦标记法,可以很容易的分辨向量和余向量(又称为1-形式)。向量的分量是用上标来标明,例如,
。给予一个
维向量空间
和其任意基底
(可能不是标准正交基),那么,向量
表示为
余向量的分量是用下标来标明,例如,
。给予
的对偶空间
和其任意基底
(可能不是标准正交基),那么,余向量
表示为
采用向量的共变和反变术语,上标表示反变向量(向量)。对于基底的改变,从
改变为
,反变向量会变换为
其中,
是改变基底后的向量的分量,
是改变基底后的坐标,
是原先的坐标,
下标表示共变向量(余向量)。对于基底的改变,从
改变为
,共变向量会会变换为
矩阵
的第
横排,第
竖排的元素,以前标记为
;现在改标记为
。各种一般运算都可以用爱因斯坦标记法来表示如下:
给予向量
和余向量
,其向量和余向量的内积为标量:
给予矩阵
和向量
,它们的乘积是向量
:
类似地,矩阵
的转置矩阵
,其与余向量
的乘积是余向量
:
矩阵乘法表示为
这公式等价于较冗长的普通标记法:
给予一个方块矩阵
,总和所有上标与下标相同的元素
,可以得到这矩阵的迹
:
M维向量
和N维余向量
的外积是一个M×N矩阵
:
采用爱因斯坦标记式,上述方程式可以表示为
由于
和
代表两个不同的标号,在这案例,值域分别为M和N,外积不会除去这两个标号,而使这两个标号变成了新矩阵
的标号。
一般力学及工程学会用互相标准正交基的基底向量
、
及
来描述三维空间的向量。
把直角坐标系的基底向量
、
及
写成
、
及
,所以一个向量可以写成:
根据爱因斯坦求和约定,若单项中有标号出现两次且分别位于上标及下标,则此项代表着所有可能值之总和:
由于基底是标准正交基,
的每一个分量
,所以,
两个向量
与
的内积是
由于基底是标准正交基,基底向量相互正交归一:
其中,
就是克罗内克函数。当
时,则
,否则
。
逻辑上,在方程式内的任意项目,若遇到了克罗内克函数
,就可以把方程式中的标号
转为
或者把标号
相关
- 莫斯科国立大学莫斯科国立米哈伊尔·瓦西里耶维奇·罗蒙诺索夫大学(俄语:Московский государственный университет имени М. В. Ломонос
- 法罗群岛克朗法罗群岛克朗为法罗群岛流通货币,由丹麦国家银行发行。法罗群岛克朗不是一种独立的货币,而是丹麦克朗的一个版本,与丹麦克朗等值,因此在ISO 4217中没有自己的代码。1克朗=100欧
- -9以下是国际疾病与相关健康问题统计分类(ICD)第九版的编码列表:
- 盘龙目盘龙目("Pelycosauria")是古生代晚期的合弓类羊膜动物,是群原始合弓纲的并系群集合体。有些物种的体型相当大,可以长到3米长,但是大多数物种的体型都小的许多。由于部分物种演化
- 清双唇擦音清双唇擦音是辅音的一种,用于一些口语中。此音的国际音标符号是⟨ɸ⟩;X-SAMPA音标符号则是⟨p\⟩。汉语普通话没有此音,个别人将声母⟨f⟩发成清双唇擦音。虽然该音的符号是由
- 国民革命军第十军国民革命军第十军,1926年8月初,湖南湘西洪江黔军第二师被国民政府军事委员会改编为国民革命军第十军,王天培任军长,金汉鼎任副军长,高冠吾任参谋长, 周仲良任党代表,甘嘉仪任秘书长
- 克耶邦克耶族
克伦族
长颈族
缅族
掸族
克耶邦 (缅甸语:ကယားပြည်နယ်)也称克伦尼邦(红克伦邦)或卡伦尼邦,是缅甸的一个邦,位于该国东南部内陆。面积11,670平方公里,人口259,000
- 小平邦彦小平邦彦(1915年3月16日-1997年7月26日)是日本数学家,长野县出身。以在代数几何和紧复解析曲面理论方面的出色工作而著名。他也是代数几何日本流派的奠基人,也是20世纪数学界的代
- 天使与魔鬼 (电影)《天使与魔鬼》(英语:),是根据丹·布朗同名小说改编的美国电影,于2009年5月14日起在全球陆续上映。虽然《天使与魔鬼》小说的故事背景与出版时间都早于《达芬奇密码》,但导演朗·
- 芒康小檗芒康小檗(学名:),为小檗科小檗属下的一个植物种。