爱因斯坦求和约定

✍ dations ◷ 2025-07-06 03:24:56 #数学表示法,多重线性代数,张量,黎曼几何,数学物理,阿尔伯特·爱因斯坦

在数学里,特别是将线性代数套用到物理时,爱因斯坦求和约定(Einstein summation convention)是一种标记的约定,又称为爱因斯坦标记法(Einstein notation),在处理关于坐标的方程式时非常有用。这约定是由阿尔伯特·爱因斯坦于1916年提出的。后来,爱因斯坦与友人半开玩笑地说:“这是数学史上的一大发现,若不信的话,可以试着返回那不使用这方法的古板日子。”

按照爱因斯坦求和约定,当一个单独项目内有标号变数出现两次,一次是上标,一次是下标时,则必须总和所有这单独项目的可能值。通常而言,标号的标值为1、2、3(代表维度为三的欧几里得空间),或0、1、2、3(代表维度为四的时空或闵可夫斯基时空)。但是,标值可以有任意值域,甚至(在某些应用案例里)无限集合。这样,在三维空间里,

的意思是

请特别注意,上标并不是指数,而是标记不同坐标。例如,在直角坐标系里, x 1 {\displaystyle x^{1}\,\!} x 2 {\displaystyle x^{2}\,\!} x 3 {\displaystyle x^{3}\,\!} 分别表示 x {\displaystyle x\,\!} 坐标、 y {\displaystyle y\,\!} 坐标、 z {\displaystyle z\,\!} 坐标,而不是 x {\displaystyle x\,\!} x {\displaystyle x\,\!} 的平方、 x {\displaystyle x\,\!} 的立方。

爱因斯坦标记法的基本点子是余向量与向量可以形成标量:

通常会将这写为求和公式形式:

在基底变换之下,标量保持不变。当基底改变时,一个向量的线性变换可以用矩阵来描述,而余向量的线性变换则需用其逆矩阵来描述。这样的设计为的是要保证,不论基底为何,伴随余向量的线性函数(即上述总和)保持不变。由于只有总和不变,而总和所涉及的每一个项目都有可能会改变,所以,爱因斯坦提出了这标记法,重复标号表示总和,不需要用到求和符号:

采用爱因斯坦标记法,余向量都是以下标来标记,而向量都是以上标来标记。标号的位置具有特别意义。请不要将上标与指数混淆在一起,大多数涉及的方程式都是线性,不超过变数的一次方。在方程式里,单独项目内的标号变数最多只会出现两次,假若多于两次,或出现任何其它例外,则都必须特别加以说明,才不会造成含意混淆不清。

在线性代数里,采用爱因斯坦标记法,可以很容易的分辨向量和余向量(又称为1-形式)。向量的分量是用上标来标明,例如, a i {\displaystyle a^{i}\,\!} 。给予一个 n {\displaystyle n\,\!} 维向量空间 V {\displaystyle \mathbb {V} \,\!} 和其任意基底 e = ( e 1 , e 2 , , e n ) {\displaystyle \mathbf {e} =(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots ,\mathbf {e} _{n})\,\!} (可能不是标准正交基),那么,向量 a {\displaystyle \mathbf {a} \,\!} 表示为

余向量的分量是用下标来标明,例如, α i {\displaystyle \alpha _{i}\,\!} 。给予 V {\displaystyle \mathbb {V} \,\!} 的对偶空间 V {\displaystyle \mathbb {V} ^{*}\,\!} 和其任意基底 ω = ( ω 1 , ω 2 , , ω n ) {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=({\boldsymbol {\omega }}^{1},{\boldsymbol {\omega }}^{2},\dots ,{\boldsymbol {\omega }}^{n})\,\!} (可能不是标准正交基),那么,余向量 α {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!} 表示为

采用向量的共变和反变术语,上标表示反变向量(向量)。对于基底的改变,从 e {\displaystyle \mathbf {e} \,\!} 改变为 e ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbf {e} }}\,\!} ,反变向量会变换为

其中, a ¯ i {\displaystyle {\overline {a}}^{i}\,\!} 是改变基底后的向量的分量, x ¯ i {\displaystyle {\overline {x}}^{i}\,\!} 是改变基底后的坐标, x j {\displaystyle x^{j}\,\!} 是原先的坐标,

下标表示共变向量(余向量)。对于基底的改变,从 ω {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\,\!} 改变为 ω ¯ {\displaystyle {\overline {\boldsymbol {\omega }}}\,\!} ,共变向量会会变换为

矩阵 A {\displaystyle A\,\!} 的第 m {\displaystyle m\,\!} 横排,第 n {\displaystyle n\,\!} 竖排的元素,以前标记为 A m n {\displaystyle A_{mn}\,\!} ;现在改标记为 A n m {\displaystyle A_{n}^{m}\,\!} 。各种一般运算都可以用爱因斯坦标记法来表示如下:

给予向量 a {\displaystyle \mathbf {a} \,\!} 和余向量 α {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!} ,其向量和余向量的内积为标量:

给予矩阵 A {\displaystyle A\,\!} 和向量 a {\displaystyle \mathbf {a} \,\!} ,它们的乘积是向量 b {\displaystyle \mathbf {b} \,\!}

类似地,矩阵 A {\displaystyle A\,\!} 的转置矩阵 B = A T {\displaystyle B=A^{\mathrm {T} }\,\!} ,其与余向量 α {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!} 的乘积是余向量 β {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}\,\!}

矩阵乘法表示为

这公式等价于较冗长的普通标记法:

给予一个方块矩阵 A j i {\displaystyle A_{j}^{i}\,\!} ,总和所有上标与下标相同的元素 A i i {\displaystyle A_{i}^{i}\,\!} ,可以得到这矩阵的迹 t {\displaystyle t\,\!}

M维向量 a {\displaystyle \mathbf {a} \,\!} 和N维余向量 α {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!} 的外积是一个M×N矩阵 A {\displaystyle A\,\!}

采用爱因斯坦标记式,上述方程式可以表示为

由于 i {\displaystyle i\,\!} j {\displaystyle j\,\!} 代表两个不同的标号,在这案例,值域分别为M和N,外积不会除去这两个标号,而使这两个标号变成了新矩阵 A {\displaystyle A\,\!} 的标号。

一般力学及工程学会用互相标准正交基的基底向量 i ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }}\,\!} j ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {j} }}\,\!} k ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}\,\!} 来描述三维空间的向量。

把直角坐标系的基底向量 i ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }}\,\!} j ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {j} }}\,\!} k ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}\,\!} 写成 e ^ 1 {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1}\,\!} e ^ 2 {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{2}\,\!} e ^ 3 {\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{3}\,\!} ,所以一个向量可以写成:

根据爱因斯坦求和约定,若单项中有标号出现两次且分别位于上标及下标,则此项代表着所有可能值之总和:

由于基底是标准正交基, u {\displaystyle \mathbf {u} \,\!} 的每一个分量 u i = u i {\displaystyle u^{i}=u_{i}\,\!} ,所以,

两个向量 u {\displaystyle \mathbf {u} \,\!} v {\displaystyle \mathbf {v} \,\!} 的内积是

由于基底是标准正交基,基底向量相互正交归一:

其中,   δ i j {\displaystyle \ \delta _{ij}\,\!} 就是克罗内克函数。当 i = j {\displaystyle i=j\,\!} 时,则 δ i j = 1 {\displaystyle \delta _{ij}=1\,\!} ,否则 δ i j = 0 {\displaystyle \delta _{ij}=0\,\!}

逻辑上,在方程式内的任意项目,若遇到了克罗内克函数   δ i j {\displaystyle \ \delta _{ij}\,\!} ,就可以把方程式中的标号 i {\displaystyle i\,\!} 转为 j {\displaystyle j\,\!} 或者把标号 j {\displaystyle j\,\!}

相关

  • 本希尔县本希尔县(Ben Hill County)是位于美国佐治亚州中部的一个县,面积658平方公里,县治菲茨杰拉德。根据2000年美国人口普查,共有人口17,316。本希尔县成立于1906年7月31日,县名源自美
  • 赛道内存赛道内存(英语:Racetrack memory),又称磁畴壁内存(domain-wall memory,DWM),一种实验中的非挥发性内存,由IBM所属的阿尔马登研究中心(Almaden Research Center)研发,研发小组由IBM院士斯
  • 希罗菲卢斯希罗菲卢斯(希腊语:Ἡρόφιλος、/hɪˈrɒfɪləs/) 公元前335-280 – 公元前255,是一名希腊医生及第一个解剖学家,出生于迦克墩用人脑做实验,开创了神经解剖学,在超过2000年
  • 开幕式2009年世界运动会开幕式是高雄世运会的开幕典礼,于当地时间2009年7月16日晚上7时30分在中华民国高雄市国家体育场(别名“龙腾体育场”)举行。19时整左右,中华民国总统马英九陪同
  • 茱蒂·哈勒戴茱蒂·霍利德(英语:Judy Holliday,1921年6月21日-1965年6月7日),美国女演员,曾获奥斯卡最佳女主角奖与金球奖最佳音乐及喜剧类电影女主角。茱蒂·霍利德是家中独生女,出生时名为朱迪
  • 首次发起攻势日方资料中方资料日方资料中方资料第一次长沙战役(又称为“第一次长沙会战”、“湘北会战”,日本称“湘赣会战”),指1939年(民国28年)9月至10月抗日战争期间,中国第九战区部队在以
  • 瑞秋·麦亚当斯瑞秋·安妮·麦克亚当斯(英语:Rachel Anne McAdams,1978年11月17日-),是一名加拿大女演员和活动家,约克大学校友。从约克大学毕业后,她于加拿大从事影视事业,参与了《Perfect Pie》的
  • 孔祥珂孔子 (远祖) 孔宪培 (曾祖父) 孔宪增 (本生曾祖) 孔庆镕 (祖父) 孔繁灏 (父) 孔祥珂(1848年-1876年),字则君,号觐堂。孔子七十五代嫡孙,山东曲阜人。父为衍圣公孔繁灏,母为名宦毕沅
  • 持续改进持续改进(又称为渐进改善,梯级改进)是一种过程或提高生产率的手段,旨在保持稳定而又持续的增长以及改善某一或某些过程的所有阶段或部分。
  • 路易斯·苏亚雷斯·米拉蒙特斯 路易斯·苏亚雷斯·米拉蒙特斯(西班牙语:Luis Suárez Miramontes,1935年5月2日-)被认为是西班牙历史上最伟大的球员之一。在1960年代,他以诡异的传球和大力射门闻名于世,并成