爱因斯坦求和约定

在数学里，特别是将线性代数套用到物理时，爱因斯坦求和约定（Einstein summation convention）是一种标记的约定，又称为爱因斯坦标记法（Einstein notation），在处理关于坐标的方程式时非常有用。这约定是由阿尔伯特·爱因斯坦于1916年提出的。后来，爱因斯坦与友人半开玩笑地说：“这是数学史上的一大发现，若不信的话，可以试着返回那不使用这方法的古板日子。”

按照爱因斯坦求和约定，当一个单独项目内有标号变数出现两次，一次是上标，一次是下标时，则必须总和所有这单独项目的可能值。通常而言，标号的标值为1、2、3（代表维度为三的欧几里得空间），或0、1、2、3（代表维度为四的时空或闵可夫斯基时空）。但是，标值可以有任意值域，甚至（在某些应用案例里）无限集合。这样，在三维空间里，

的意思是

请特别注意，上标并不是指数，而是标记不同坐标。例如，在直角坐标系里，${\displaystyle x^1}$、${\displaystyle x^2}$、${\displaystyle x^3}$分别表示${\displaystyle x}$坐标、${\displaystyle y}$坐标、${\displaystyle z}$坐标，而不是${\displaystyle x}$、${\displaystyle x}$的平方、${\displaystyle x}$的立方。

爱因斯坦标记法的基本点子是余向量与向量可以形成标量：

通常会将这写为求和公式形式：

在基底变换之下，标量保持不变。当基底改变时，一个向量的线性变换可以用矩阵来描述，而余向量的线性变换则需用其逆矩阵来描述。这样的设计为的是要保证，不论基底为何，伴随余向量的线性函数（即上述总和）保持不变。由于只有总和不变，而总和所涉及的每一个项目都有可能会改变，所以，爱因斯坦提出了这标记法，重复标号表示总和，不需要用到求和符号：

采用爱因斯坦标记法，余向量都是以下标来标记，而向量都是以上标来标记。标号的位置具有特别意义。请不要将上标与指数混淆在一起，大多数涉及的方程式都是线性，不超过变数的一次方。在方程式里，单独项目内的标号变数最多只会出现两次，假若多于两次，或出现任何其它例外，则都必须特别加以说明，才不会造成含意混淆不清。

在线性代数里，采用爱因斯坦标记法，可以很容易的分辨向量和余向量（又称为1-形式）。向量的分量是用上标来标明，例如，${\displaystyle a^i}$。给予一个${\displaystyle n}$维向量空间${\displaystyle \mathbb{V}}$和其任意基底${\displaystyle \mathbf{e}=({\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathbf{e}}_n)}$（可能不是标准正交基），那么，向量${\displaystyle \mathbf{a}}$表示为

余向量的分量是用下标来标明，例如，${\displaystyle {\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}_i}$。给予${\displaystyle \mathbb{V}}$的对偶空间${\displaystyle {\mathbb{V}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}}$和其任意基底${\displaystyle \mathit{\omega <!--\; \omega \; -->}=({\mathit{\omega <!--\; \omega \; -->}}^1,{\mathit{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathit{\omega <!--\; \omega \; -->}}^n)}$（可能不是标准正交基），那么，余向量${\displaystyle \mathit{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$表示为

采用向量的共变和反变术语，上标表示反变向量（向量）。对于基底的改变，从${\displaystyle \mathbf{e}}$改变为${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathbf{e}}}$，反变向量会变换为

其中，${\displaystyle {\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{a}}^i}$是改变基底后的向量的分量，${\displaystyle {\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}}^i}$是改变基底后的坐标，${\displaystyle x^j}$是原先的坐标，

下标表示共变向量（余向量）。对于基底的改变，从${\displaystyle \mathit{\omega <!--\; \omega \; -->}}$改变为${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\mathit{\omega <!--\; \omega \; -->}}}$，共变向量会会变换为

矩阵${\displaystyle A}$的第${\displaystyle m}$横排，第 ${\displaystyle n}$竖排的元素，以前标记为${\displaystyle A_{mn}}$；现在改标记为${\displaystyle A_n^m}$。各种一般运算都可以用爱因斯坦标记法来表示如下：

给予向量${\displaystyle \mathbf{a}}$和余向量${\displaystyle \mathit{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$，其向量和余向量的内积为标量：

给予矩阵${\displaystyle A}$和向量${\displaystyle \mathbf{a}}$，它们的乘积是向量${\displaystyle \mathbf{b}}$：

类似地，矩阵${\displaystyle A}$的转置矩阵${\displaystyle B=A^{\mathrm{T}}}$，其与余向量${\displaystyle \mathit{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$的乘积是余向量${\displaystyle \mathit{\beta <!--\; \beta \; -->}}$：

矩阵乘法表示为

这公式等价于较冗长的普通标记法：

给予一个方块矩阵${\displaystyle A_j^i}$，总和所有上标与下标相同的元素${\displaystyle A_i^i}$，可以得到这矩阵的迹${\displaystyle t}$：

M维向量${\displaystyle \mathbf{a}}$和N维余向量${\displaystyle \mathit{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$的外积是一个M×N矩阵${\displaystyle A}$：

采用爱因斯坦标记式，上述方程式可以表示为

由于${\displaystyle i}$和${\displaystyle j}$代表两个不同的标号，在这案例，值域分别为M和N，外积不会除去这两个标号，而使这两个标号变成了新矩阵${\displaystyle A}$的标号。

一般力学及工程学会用互相标准正交基的基底向量${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{i}}}$、${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{j}}}$及${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{k}}}$来描述三维空间的向量。

把直角坐标系的基底向量${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{i}}}$、${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{j}}}$及${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{k}}}$写成${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{e}}}_1}$、${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{e}}}_2}$及${\displaystyle {\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathbf{e}}}_3}$，所以一个向量可以写成：

根据爱因斯坦求和约定，若单项中有标号出现两次且分别位于上标及下标，则此项代表着所有可能值之总和：

由于基底是标准正交基，${\displaystyle \mathbf{u}}$的每一个分量${\displaystyle u^i=u_i}$，所以，

两个向量${\displaystyle \mathbf{u}}$与${\displaystyle \mathbf{v}}$的内积是

由于基底是标准正交基，基底向量相互正交归一：

其中，${\displaystyle {\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij}}$就是克罗内克函数。当${\displaystyle i=j}$时，则${\displaystyle {\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij}=1}$，否则${\displaystyle {\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij}=0}$。

逻辑上，在方程式内的任意项目，若遇到了克罗内克函数${\displaystyle {\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij}}$，就可以把方程式中的标号${\displaystyle i}$转为${\displaystyle j}$或者把标号${\displaystyle j}$

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