玻尔兹曼分布

在统计力学与数学中，玻尔兹曼分布（或称吉布斯分布）是系统中的粒子在各种可能微观量子态（英语：microstate (statistical mechanics)）的概率分布、概率测度（英语：probability measure），或频度分布（英语：frequency distribution）。具有以下形式F ( s t a t e ) ∝ e − E k T {displaystyle F({rm {state}})propto e^{-{frac {E}{kT}}}}其中 E {displaystyle E} 是量子态能量（随着个别量子态有所不同）， k T {displaystyle kT} （对于一个玻尔兹曼分布来说是常数）是玻尔兹曼常数与热力学温度的乘积。而概率分布则可表达为 p i = e − ε i / k T ∑ j = 1 M e − ε j / k T {displaystyle p_{i}={frac {e^{-{varepsilon }_{i}/kT}}{sum _{j=1}^{M}{e^{-{varepsilon }_{j}/kT}}}}}其中 p i {displaystyle p_{i}} 是量子态i的概率， ε i {displaystyle varepsilon _{i}} 是量子态i的能量， k {displaystyle k} 是玻尔兹曼常数， T {displaystyle T} 是系统温度且 M {displaystyle M} 为系统具有的量子态数目。对于两个状态之玻尔兹曼分布的比值，得到玻尔兹曼因子。可见其仅与量子态间的能量差有关。F ( s t a t e 2 ) F ( s t a t e 1 ) = e E 1 − E 2 k T {displaystyle {frac {F({rm {state2}})}{F({rm {state1}})}}=e^{frac {E_{1}-E_{2}}{kT}}}玻尔兹曼分布取自路德维希·玻尔兹曼，他在1868年研究热平衡气体的统计力学时初次构想了此一分布。而后约西亚·威拉德·吉布斯在1902年提出了玻尔兹曼分布更为一般化的形式。:Ch.IV要特别的注意玻尔兹曼分布与麦克斯韦-玻尔兹曼分布的差别。前者给出粒子在各量子态的分布概率，后者则是用来描述粒子在理想气体中的速率分布。玻尔兹曼分布是状态能量与系统温度的函数，给出了粒子处于特定状态下的概率。其具有以下形式：其中 p i {displaystyle p_{i}} 为量子态i的概率， ϵ i {displaystyle epsilon _{i}} 为量子态i之能量， k {displaystyle k} 为玻尔兹曼常数， T {displaystyle T} 为系统温度， M {displaystyle M} 为系统可具有的量子态数目。 分母的部分是对系统所有量子态进行总和，而此部分又被称为配分函数，通常以Q（在某些书中为Z）表示：因此玻尔兹曼分布也可写成：若是知道系统中各状态的能量，可以直接计算此系统的配分函数。各种原子的配分函数可以在NIST Atomic Spectra Database找到。从分布的形式可以看出，低能量的状态比起高能量的状态具有较高的分布概率。同时也能定量地比较两能级分布概率的关系：玻尔兹曼分布通常用于描述粒子的分布，例如原子与分子在各种量子态的分布情形。在多个粒子的情况下，能级的分布概率即对应到处于该能级的粒子数的期望值：其中 N i {displaystyle N_{i}} 为处于i能级中的粒子数， N {displaystyle N} 为系统中的粒子总数。带入玻尔兹曼分布后得到：这个表达式在光谱学中有重要的应用。光谱中的谱线位置代表粒子量子态转移的能量。为了使谱线强度足够，必须有足量粒子处于高量子态，对此可以透过上述表达式确定粒子分布与系统温度、能级差的关系，得到恰当的系统参数。玻尔兹曼分布可应用热平衡的孤立（或近似孤立）系统。最一般的情况为正则系综的概率分布，而在某些特殊情况下（衍生自正则系综）也有相关的应用。在数学上，玻尔兹曼函数更广义的形式为吉布斯测度（英语：Gibbs measure）。在统计学与机器学习中又被称为对数-线性模型（英语：log-linear model）。在深度学习中，玻尔兹曼分布被用于随机神经网络的采样分布，例如玻尔兹曼机，受限玻尔兹曼机和深度玻尔兹曼机。