反证法

反证法（又称背理法）是一种论证方式，他首先假设某命题成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。反证法与归谬法相似，但归谬法不仅包括推理出矛盾结果，也包括推理出不符事实的结果或显然荒谬不可信的结果。给出命题 p {displaystyle p} 和命题 p ¯ {displaystyle {bar {p}}} （非 p {displaystyle p} ），根据排中律，两者之中起码有一个是真（更强的说法为，除了真和假之外并无其他的情况），所以如果其中一个是假的，另一个就必然是真。给出命题 q {displaystyle q} 和命题 q ¯ {displaystyle {bar {q}}} （非 q {displaystyle q} ），根据无矛盾律，两者同时为真的情况为假。给出命题 p {displaystyle p} 和 r {displaystyle r} ，根据否定后件律，如果若 p {displaystyle p} 成立时出现 r {displaystyle r} ，则 r {displaystyle r} 为假时 p {displaystyle p} 即为假。反证法在要证明 p {displaystyle p} 时，透过显示出若 p ¯ {displaystyle {bar {p}}} 成立时出现矛盾（ q {displaystyle q} 和 q ¯ {displaystyle {bar {q}}} ），即 p ¯ {displaystyle {bar {p}}} 为假，从而证明 p {displaystyle p} 为真。2 {displaystyle {sqrt {2}}} 是无理数的证明（古希腊人）证明：假设 2 {displaystyle {sqrt {2}}} 是有理数，那么可以写成 p/q 的形式，其中 p、q 皆为正整数且 p、q 互质。那么有可得 p² 是偶数。而只有偶数的平方才是偶数，所以 p 也是偶数。因此可设 p=2s，代入上式，得：q²=2s²。所以 q ²也是偶数，故可得 q 也是偶数。这样 p、q 都是偶数，不互质，这与假设 p、q 互质矛盾，假设不成立。因此 2 {displaystyle {sqrt {2}}} 为无理数。数学上有许多的定理可用反证法来证明，以下是一小部分的例子：