次导数

✍ dations ◷ 2025-07-11 16:15:56 #凸分析,导数的推广,最优化

次导数（subderivative）、次微分（subdifferential）、次切线（subtangent lines）和次梯度（subgradient）的概念出现在凸分析，也就是凸函数的研究中。要注意的是，次切线（subtangent lines）和次切距（subtangent）是不同的。

设:→R是一个实变量凸函数，定义在实数轴上的开区间内。这种函数不一定是处处可导的，例如绝对值函数()=||。但是，从右面的图中可以看出（也可以严格地证明），对于定义域中的任何₀，我们总可以作出一条直线，它通过点(₀, (₀))，并且要么接触的图像，要么在它的下方。这条直线的斜率称为函数的次导数。

凸函数:→R在点₀的次导数，是实数使得：

对于所有内的。我们可以证明，在点₀的次导数的集合是一个非空闭区间，其中和是单侧极限

它们一定存在，且满足 ≤ 。

所有次导数的集合称为函数在₀的次微分。

考虑凸函数()=||。在原点的次微分是区间。₀<0时，次微分是单元素集合{-1}，而₀>0，则是单元素集合{1}。

次导数和次微分的概念可以推广到多元函数。如果:→ R是一个实变量凸函数，定义在欧几里得空间R内的凸集，则该空间内的向量称为函数在点₀的次梯度，如果对于所有内的，都有：

所有次梯度的集合称为次微分，记为∂(₀)。次微分总是非空的凸紧集。

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