次导数

✍ dations ◷ 2025-04-25 13:58:00 #凸分析,导数的推广,最优化

次导数(subderivative)、次微分(subdifferential)、次切线(subtangent lines)和次梯度(subgradient)的概念出现在凸分析,也就是凸函数的研究中。 要注意的是,次切线(subtangent lines)和次切距(subtangent)是不同的。

设:→R是一个实变量凸函数,定义在实数轴上的开区间内。这种函数不一定是处处可导的,例如绝对值函数()=||。但是,从右面的图中可以看出(也可以严格地证明),对于定义域中的任何0,我们总可以作出一条直线,它通过点(0, (0)),并且要么接触的图像,要么在它的下方。这条直线的斜率称为函数的次导数。

凸函数:→R在点0的次导数,是实数使得:

对于所有内的。我们可以证明,在点0的次导数的集合是一个非空闭区间,其中和是单侧极限

它们一定存在,且满足 ≤ 。

所有次导数的集合称为函数在0的次微分。

考虑凸函数()=||。在原点的次微分是区间。0<0时,次微分是单元素集合{-1},而0>0,则是单元素集合{1}。

次导数和次微分的概念可以推广到多元函数。如果:→ R是一个实变量凸函数,定义在欧几里得空间R内的凸集,则该空间内的向量称为函数在点0的次梯度,如果对于所有内的,都有:

所有次梯度的集合称为次微分,记为∂(0)。次微分总是非空的凸紧集。

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