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递推关系式

✍ dations ◷ 2025-09-06 05:25:19 #计算理论,代数,方程

在数学上，递推关系（recurrence relation），也就是差分方程（difference equation），是一种递推地定义一个序列的方程：序列的每一项目是定义为前一项的函数。

像户口调查映射（logistic map）即为递推关系

某些简单定义的递推关系式可能会表现出非常复杂的（混沌的）性质，他们属于数学中的非线性分析领域。

所谓解一个递推关系式，也就是求其解析解，即关于的非递归函数。

字眼的意思是序列的每一项目是被定义为前一项的一种线性函数。系数和常数可能视n而定，甚至是非线性地。

一种特别的情况是当系数并不依照n而定。

齐次意思为关系的常数项为零。

为了要得到线性递归唯一的解，必须有一些起始条件，就是序列的第一个数字无法依照该序列的其他数字而定时，且必须设定为某些数值。

递推关系式的解通常是由系统的方法中找出来，通常借由使用生成函数（形式幂级数）或借由观察是一种对的特定数值之解的事实。

二阶递推关系式的形式：

我们拥有解为：

两边除以 $r^{n-2}$ 。解出可获得两个根（roots） $\lambda _{1},\lambda _{2}$ 2+4=0），我们得到

和都是常数。

换句话说，将这种 $a_{n}=Aa_{n-1}+B$ ，可以通过如下递归关系计算 $y_{0}=y(t_{0})$ $y_{0}=y(t_{0})$ , $y_{1}=y(t_{0}+h),$ $y_{1}=y(t_{0}+h),$ $y_{2}=y(t_{0}+2h),...$ $y_{2}=y(t_{0}+2h),...$

线性一阶微分方程组可以用离散化条目中介绍的方法解析地精确离散化。

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