三对角矩阵

✍ dations ◷ 2025-04-26 12:10:46 #矩阵

在线性代数中,一个三对角矩阵是矩阵的一种,它“几乎”是一个对角矩阵。准确来说:一个三对角矩阵的非零系数在主对角线上,或比主对角线低一行的对角线上,或比主对角线高一行的对角线上。

例如,下面的是三对角矩阵:

由三对角矩阵得来的行列式,也被称为一个 continuant。

三对角矩阵是海森堡矩阵。尽管一般的三对角矩阵不一定是对称或埃尔米特矩阵,许多解线性代数问题时出现的矩阵却往往有这些性质。进一步如果一个实三对角矩阵 满足 ,+1 +1, > 0,所以它元素的符号都为正,从而相似于一个埃尔米特矩阵,这样特征值都是实数。后一个推论如果我们将条件 ,+1 +1, > 0 换为 ,+1 +1, ≥ 0,结论仍然成立。

所有 × 三对角矩阵的集合组成一个 维向量空间。

许多线性代数算法应用于对角矩阵时所需计算量特别少,这种改进也经常被三对角矩阵继承。譬如,一个 n 阶三对角矩阵 的行列式能用 continuant(Continuant)的递归公式计算:

这里 det { 1 , , k } {\displaystyle \det_{\{1,\ldots ,k\}}} 个主子式,即 { 1 , , k } {\displaystyle _{\{1,\ldots ,k\}}} 最开始的 行 列组成的子矩阵。用此方法计算三对角矩阵所需计算量是线性 ,然而对于一般的矩阵复杂度是 n 的 3 次方。

一个将一般矩阵变成海森堡型的变换,将厄密特矩阵变成三对角矩阵。从而,许多特征值算法运用到厄密特矩阵上,第一步将输入的厄密特矩阵变成三对角矩阵。

一个三对角矩阵利用特定的存储方案比一般矩阵所用的存储空间也少得多。例如,LAPACK Fortran包将一个 -维非对称三对角矩阵存为三个 1-维数列,其中一个长 包含对角元素,其它两个长为 − 1 包含下对角线和上对角线元素。

三对角矩阵方程 A x = b , b R n {\displaystyle Ax=b,\,b\in \mathbb {R} ^{n}} 次操作的特殊的算法解出来(Golub and Van Loan)。

相关

  • 酸奶酸奶(英语:Yogurt,又称老酸奶、优格、乳酪、酸乳、优酪乳)是乳制品的一种,由动物乳汁经乳酸菌发酵而产生。优格一词源自土耳其语的yoğurt(读音:.mw-parser-output .IPA{font-famil
  • 二氧化氯二氧化氯是黄绿色的气体,是氯的最稳定的氧化物,也是唯一大量生产的卤氧化物。二氧化氯在其液态时稳定,但若和一些特定物质接触,也有爆炸的可能。 它在约−59°C 时凝结成亮橙色
  • 戴高乐夏尔·安德烈·约瑟夫·马里·戴高乐(法语:Charles André Joseph Marie de Gaulle,1890年11月22日-1970年11月9日)是法国军事家、政治家,曾在第二次世界大战期间领导自由法国运动
  • 库尔德语库尔德语(كوردي, Kurdî‎ .mw-parser-output .IPA{font-family:"Charis SIL","Doulos SIL","Linux Libertine","Segoe UI","Lucida Sans Unicode","Code2000","Gentium
  • 国际跨性别纪念日跨性别追悼日(英语:Transgender Day of Remembrance),也称跨性别死难者纪念日、国际跨性别纪念日,日期为11月20日。它的设立是为了悼念反跨性别憎恨暴力谋杀事件的受害者,并提高对
  • 国际标准书号代码表相关内容请参看国际标准书号。
  • 林鼠亚科林鼠亚科(学名:Neotominae)是啮齿目仓鼠科的一个亚科,分布于美洲,种类很多:
  • 孙立军孙立军(1964年-),河北保定人,中国动画研究家、教育家。毕业于北京电影学院动画专业,1988年起开始从事教师工作。目前是北京电影学院副院长、北京电影学院动画学院院长、教授、硕士
  • 细胞 (期刊)《细胞》()为一份同行评审科学期刊,主要发表生命科学领域中的最新研究发现。《细胞》刊登过许多重大的生命科学研究进展,与《自然》和《科学》并列,是全世界最权威的学术杂志之一
  • 齿部齿部,为汉字索引中的部首之一,康熙字典214个部首中的第二百一十一个(十五划唯一的部首)。就正体中文中,齿部归于十五划部首,而简体中文则归在八划。齿部只以左方、下方为部字。且