三对角矩阵

✍ dations ◷ 2025-04-04 11:09:51 #矩阵

在线性代数中,一个三对角矩阵是矩阵的一种,它“几乎”是一个对角矩阵。准确来说:一个三对角矩阵的非零系数在主对角线上,或比主对角线低一行的对角线上,或比主对角线高一行的对角线上。

例如,下面的是三对角矩阵:

由三对角矩阵得来的行列式,也被称为一个 continuant。

三对角矩阵是海森堡矩阵。尽管一般的三对角矩阵不一定是对称或埃尔米特矩阵,许多解线性代数问题时出现的矩阵却往往有这些性质。进一步如果一个实三对角矩阵 满足 ,+1 +1, > 0,所以它元素的符号都为正,从而相似于一个埃尔米特矩阵,这样特征值都是实数。后一个推论如果我们将条件 ,+1 +1, > 0 换为 ,+1 +1, ≥ 0,结论仍然成立。

所有 × 三对角矩阵的集合组成一个 维向量空间。

许多线性代数算法应用于对角矩阵时所需计算量特别少,这种改进也经常被三对角矩阵继承。譬如,一个 n 阶三对角矩阵 的行列式能用 continuant(Continuant)的递归公式计算:

这里 det { 1 , , k } {\displaystyle \det_{\{1,\ldots ,k\}}} 个主子式,即 { 1 , , k } {\displaystyle _{\{1,\ldots ,k\}}} 最开始的 行 列组成的子矩阵。用此方法计算三对角矩阵所需计算量是线性 ,然而对于一般的矩阵复杂度是 n 的 3 次方。

一个将一般矩阵变成海森堡型的变换,将厄密特矩阵变成三对角矩阵。从而,许多特征值算法运用到厄密特矩阵上,第一步将输入的厄密特矩阵变成三对角矩阵。

一个三对角矩阵利用特定的存储方案比一般矩阵所用的存储空间也少得多。例如,LAPACK Fortran包将一个 -维非对称三对角矩阵存为三个 1-维数列,其中一个长 包含对角元素,其它两个长为 − 1 包含下对角线和上对角线元素。

三对角矩阵方程 A x = b , b R n {\displaystyle Ax=b,\,b\in \mathbb {R} ^{n}} 次操作的特殊的算法解出来(Golub and Van Loan)。

相关

  • 儿童儿童色情旅游(英语:Child Sex Tourism)是为了参与儿童性交易而进行的一种旅游,这在商业上促进了儿童性虐待的发生。 联合国《儿童权利公约》里对儿童的定义为“所有未满18周岁的
  • 基因敲除小鼠基因剔除小鼠是一种遗传工程技术下利用基因剔除技术所做出的一或多个基因变异的小鼠。广义来说,当小鼠体内的特定基因被剔除称之。此技术为用来观察并研究活体内基因表现的工
  • 王乃彦王乃彦(1935年11月21日-),福建福州人,中国核物理学家,中国科学院院士、中国核工业集团公司科技委高级顾问、中国原子能科学研究院副院长、研究员、《中国物理学报》主编,曾任国家自
  • 西斯拉夫民族西斯拉夫人,斯拉夫人的一支,主要在中欧平原地区活动,主要为波兰人、捷克人、斯洛伐克人、索布人等。东斯拉夫人主要信奉东正教,西斯拉夫人主要信奉天主教,而南斯拉夫人则大约各占
  • 泷廉太郎泷廉太郎(たき れんたろう、1879年(明治12年)8月24日 - 1903年(明治36年)6月29日)是日本音乐家、作曲家。明治时代的西洋音乐黎明期的代表音乐家之一。代表作有“荒城之月”、“箱
  • 海象科大西洋海象O. r. rosmarus 太平洋海象O. r. divergens海象(学名:Odobenus rosmarus)是海象属唯一的物种,属食肉目海象科,是一种鳍足类。海象科史前有几个属,但目前仅存一属一种。
  • 食品工业部中华人民共和国食品工业部是中华人民共和国国务院曾经存在的部门。前身为1949年设立的中央人民政府食品工业部,部长杨立三。1950年12月,中央人民政府食品工业部撤销。1956年,经
  • 1824年1824年美国总统选举在1824年10月26日到1824年12月2日期间举行。约翰·昆西·亚当斯在1825年2月9日最终当选为第六任美国总统,但亚当斯并不是当时得票最多的总统候选人,当时安
  • 恩加省恩加省(英语:Enga Province)是巴布亚新几内亚20省之一,首府瓦巴格(Wabag)。
  • 桃(学名:)是蔷薇科李属一种,花可以观赏,果实多汁,作为水果,可以生食或制桃脯、罐头等,核仁也可以食用。果肉有白色和黄色的,一般在亚洲最受欢迎的品种多为白色果肉,香甜多汁;欧洲、澳洲