三对角矩阵

✍ dations ◷ 2025-09-08 23:21:55 #矩阵

在线性代数中,一个三对角矩阵是矩阵的一种,它“几乎”是一个对角矩阵。准确来说:一个三对角矩阵的非零系数在主对角线上,或比主对角线低一行的对角线上,或比主对角线高一行的对角线上。

例如,下面的是三对角矩阵:

由三对角矩阵得来的行列式,也被称为一个 continuant。

三对角矩阵是海森堡矩阵。尽管一般的三对角矩阵不一定是对称或埃尔米特矩阵,许多解线性代数问题时出现的矩阵却往往有这些性质。进一步如果一个实三对角矩阵 满足 ,+1 +1, > 0,所以它元素的符号都为正,从而相似于一个埃尔米特矩阵,这样特征值都是实数。后一个推论如果我们将条件 ,+1 +1, > 0 换为 ,+1 +1, ≥ 0,结论仍然成立。

所有 × 三对角矩阵的集合组成一个 维向量空间。

许多线性代数算法应用于对角矩阵时所需计算量特别少,这种改进也经常被三对角矩阵继承。譬如,一个 n 阶三对角矩阵 的行列式能用 continuant(Continuant)的递归公式计算:

这里 det { 1 , , k } {\displaystyle \det_{\{1,\ldots ,k\}}} 个主子式,即 { 1 , , k } {\displaystyle _{\{1,\ldots ,k\}}} 最开始的 行 列组成的子矩阵。用此方法计算三对角矩阵所需计算量是线性 ,然而对于一般的矩阵复杂度是 n 的 3 次方。

一个将一般矩阵变成海森堡型的变换,将厄密特矩阵变成三对角矩阵。从而,许多特征值算法运用到厄密特矩阵上,第一步将输入的厄密特矩阵变成三对角矩阵。

一个三对角矩阵利用特定的存储方案比一般矩阵所用的存储空间也少得多。例如,LAPACK Fortran包将一个 -维非对称三对角矩阵存为三个 1-维数列,其中一个长 包含对角元素,其它两个长为 − 1 包含下对角线和上对角线元素。

三对角矩阵方程 A x = b , b R n {\displaystyle Ax=b,\,b\in \mathbb {R} ^{n}} 次操作的特殊的算法解出来(Golub and Van Loan)。

相关

  • CT计算机断层成像(Computed Tomography,简称CT),是一种影像诊断学的检查。这一技术曾被称为计算机轴向断层成像(Computed Axial Tomography)。X射线计算机断层成像(X-Ray Computed To
  • 顶级掠食者顶级掠食者(或称超级掠食者)是指一掠食性物种在其生活范围的食物链中,不存在营养级比其更高、甚至对其进行掠食的物种。如大型猫科动物、熊、鳄鱼、虎鲸、老鹰等,其存在能维持生
  • 勒克莱尔主战坦克勒克莱尔坦克(法语:Char Leclerc),又名雷克勒坦克,非官方代号AMX-56,是法国国有军火商GIAT(现奈克斯特公司(英语:Nexter Systems))所研制的主战坦克,它在1993年起取代1960年代服役的AMX-
  • 纳土纳群岛纳土纳群岛(印尼语:Kepulauan Natuna)是印度尼西亚廖内群岛省的一个群岛,位于马来半岛和婆罗洲岛之间,由272个岛屿组成,面积2,110平方公里,人口约9万。是南海最大的以及人口最多的
  • 乐高旋风忍者电影《乐高忍者大电影》(英语:The Lego Ninjago Movie)是一部2017年美国和丹麦合拍的3D动作喜剧电脑动画电影,由查理·宾(英语:Charlie Bean (animator))、保罗·费雪和巴布·罗根共同
  • 黄茅尖黄茅尖位于浙江省南部龙泉市境内,是洞宫山脉的主峰,也是浙江省第一高峰,海拔1930米,位于凤阳山 - 百山祖国家级自然保护区(英语:Fengyangshan – Baishanzu National Nature Reser
  • 方国珍方国珍(1319年-1374年),名珍,字国珍,以字行,后改谷贞,又作谷真,中国浙江台州黄岩人,元末义军领袖之一,最先起兵抗元。又记作方谷珍,另说宁海(今浙江宁海县)人。长得眼大身长,力大能擒虎,又识
  • 广丰区广丰区是中国江西省上饶市所辖的一个市辖区,位于江西省最东部,与浙江省、福建省交界。广丰古为吴楚交界地带,有“吴头楚尾”之称,始建于唐,原称永丰,清雍正十年改称广丰。广丰地处
  • 平话平话可以指:
  • 扫描电化学显微镜扫描电化学显微镜(缩写SECM)基于电化学原理工作,可测量微区内物质氧化或还原所给出的电化学电流。利用驱动非常小的电极(探针)在靠近样品处进行扫描,样品可以是导体、绝缘体或半导