切触几何

✍ dations ◷ 2025-04-26 12:08:25 #微分几何,流形上的结构,辛拓扑

数学上,切触几何(英语:Contact geometry)是研究流形上的超平面的几何。根据弗洛比尼斯定理,这个(大致来讲)可以通过叶状结构的不成立来识别。作为它的姐妹,辛几何属于偶数维的世界,而切触几何是奇数维的对应几何。

切触几何和辛几何一样在物理学中有广泛的应用,例如,几何光学、经典力学、热力学、几何量子化、可积系统、以及诸如控制论这样的应用数学。它也可以用于证明有趣的事情,例如‘你总是可以平泊你的汽车,只要空间足够大’。切触几何有很多低维拓扑中的应用;一个这种相关性的表现就是每个三维流形都有一个切触结构。

一个 α在2+1维流形上就是一个(局部)1-流形,具有属性

一个 ξ在一个流形上就是一个切触形式α的核,也就是,一个完全不可积超平面场。大致来讲,这表示你无法在一个开集上找到和ξ相切的一片超曲面。

从定义可以导出α限制到ξ上时是非退化的。这表示ξ是一个该流形上的辛丛。因为辛空间是偶数维的,切触流形必须是奇数维的。

作为基本例子,考虑3,使用一下坐标

1-形式

在一点的切除平面ξ

由下列向量张成

(画一幅图像)。实际上很容易将这个例子推广到任意。根据达布定理,一个流形上的每个切触结构局部看起来就是这个例子。

任何-维流形的余切丛 本身是一个流形(维数为2),并且自然地支持一个恰当辛结构ω = λ。(这个1-形式λ有时称为)。在流形上取一个黎曼度量。这允许我们考虑每个余切平面中的单位球。刘维尔形式限制到单位余切丛是一个切触结构。向量场 (唯一地)由λ()=1和λ对于所有该度量的测地流生成的向量场成立。

另一方面,可以通过考虑来构造一个切触流形。采用坐标(),这个流形有一个切触结构

最后这个例子表明如何从辛流形得到切触流形。同样可以从切触流形构造一个辛流形,也是通过和的直积:若α是一个切触形式,在流形上,则

是一个上的辛流形,其中表示在-方向的变量。

切触流形最有意思的子空间是它的勒让德子流形。在(2n+1)-维流形上的切触超平面场的不可积性意味着没有2n-维子流形可以将它作为它的切丛,局部的都不行。但是,通常可以找到一个n-维(嵌入或者浸入)子流形,其切空间位于切触场内。勒让德子流形和辛流形的拉格朗日子流形类似。它们之间有一个精确的关系:勒让德子流形在切触流形的辛化中的提升是一个拉格朗日子流形。勒让德子流形的最简单的例子是在一个切触三维流形中的勒让德纽结。不等价的勒让德纽结可能作为光滑纽结是等价的。

勒让德子流形是很刚性的对象;在一些情况下,子流形为了成为勒让德子流形而必须解开纽结。辛场论提供勒称为切触同调的勒让德子流形的不变量,它们有时可以用于区分拓扑等价的勒让德子流形。

若α是一个给定切触结构的切触形式,Reeb向量场R可以定义维dα的核的唯一满足α(R)=1的元素。其动力学可以用于研究切触流形的结构甚或用诸如辛场论和嵌入切触同调这类的Floer同调来研究流形本身。

切触几何的根源出现于克里斯蒂安·惠更斯、Barrow和牛顿的著作中。切触变换的理论(也即保持一个切触结构的变换)是索甫斯·李发展的,其目的是双重的,包括研究微分方程(例如勒让德变换)和表述射影对偶性中常见的'空间元素的变换'。

切触几何入门:

切触三维流形和勒让德纽结:

切触几何的历史信息:

相关

  • 恶病质恶病体质(Cachexia)代表因疾病引起的体重减轻以及肌肉量减少,呈现衰落的状态,通常为癌症或艾滋病等严重疾病引起的并发症。
  • 超音段成分超音段音位(suprasegmental、超音段成分)是言语分析中除音素之外的的语音现象。言语中有大量特征倾向构成超越单一音段的模式,并且不受音段目标限制独立变化,其中主要有音高、响
  • 郑时龄郑时龄(1941年11月12日-),中国建筑学专家。1941年生于四川成都,原籍广东惠阳。1993年同济大学建筑系研究生毕业,获博士学位。同济大学建筑与城空间研究所教授。2001年当选为中国科
  • 矾是具有A1+M3+(SO42-)2·12H2O通式的一类复盐,并通常带有结晶水。例如明矾为KAl(SO4)2·12H2O。但是不只矾类名称带有矾。通式A2SO4·B2(SO4)3·24H2O中,A为+1价的阳离子,如Na
  • 局域网局域网(Local Area Network,简称 LAN)是连接住宅、学校、实验室、大学校园或办公大楼等有限区域内计算机的计算机网络 。相比之下,广域网(WAN)不仅覆盖较大的地理距离,而且还通常涉
  • 汽车客运公路总局 民用航空局 高速公路局 航港局 铁道局台湾铁路管理局 中华邮政公司 台湾港务公司 桃园国际机场公司国道 省道 县道 - 市道(列表) 乡道 - 区道 专用公路 编号与名称对
  • 太湖太湖是中国五大淡水湖之一,水域面积排行第三,位于江苏省南部和浙江省北部交界处,而在行政区划上几乎完全属于江苏省,是江、浙两省的界湖,大部分水域位于苏州市,有“包孕吴越”之称
  • 氧化亚镓氧化亚镓,或氧化镓(I)是一种无机化合物,化学式Ga2O。氧化亚镓可以由镓在真空还原氧化镓而成:氧化亚镓是棕黑色反磁性固体,可抵抗干燥空气中的进一步氧化。它在500 °C以上开始分
  • 灵与肉《灵与肉》(英语:Flesh and the Devil)是一部1926年的美国无声爱情电影,由克拉伦斯·布朗(英语:Clarence Brown)导演,葛丽泰·嘉宝与约翰·吉尔伯特(英语:John Gilbert (actor))主演。
  • 安德雷·布劳尔艾米·布拉布森安德雷·布劳尔(英语:Andre Braugher,/ˈbraʊ.ər/,1962年7月1日-)是一位美国男演员,出生于伊利诺伊州芝加哥,现居于新泽西州南奥兰治。他于1984年在斯坦福大学取得