同伦

同伦（英语：homotopic，源自希腊语：ὁμός homós，意为“相同，相似的”与希腊语：τόπος tópos，意为“方位”）。在数学中，同伦的概念在拓扑上描述了两个对象间的“连续变化”。在拓扑学中，两个定义在拓扑空间之间的连续函数，如果其中一个能“连续地形变”为另一个，则这两个函数称为同伦的。这样的形变称为两个函数之间的同伦。同伦的一个重要的应用是同伦群和上同伦群（英语：Cohomotopy group）的定义，它们是代数拓扑中重要的不变量（英语：Invariant (mathematics)）。

事实上，在特定的空间中应用同伦还有一些技术上的困难。代数拓扑学家一般使用紧生成空间、CW复形或谱（英语：Spectrum_(topology)）。

给定两个拓扑空间 ${\displaystyle X}$ 与单位区间 的积空间上的映射 ${\displaystyle H:X\times <!--\; \times \; -->\to <!--\; \to \; -->Y}$ 的第二个参数当作时间，这样 相当于描述了一个从 到 的：0 时刻我们得到函数，1 时刻我们得到函数 。我们也可以将第二个参数视作一个可以滑动的“控制条”，当控制条从0滑动至1时，函数 平滑地转变为函数 ，反之亦然。

另一种观点是：对每个${\displaystyle x\in <!--\; \in \; -->X}$3中的环面之间的同伦。 是环面， 是 3。 是从环面到3的连续函数，当动画开始时， 把环面映射为嵌入的甜甜圈的表面。 把环面映射为嵌入的咖啡杯表面。动画展示了()作为时间的函数时的图像。每一次循环中，时间 t 从 0 变成 1，暂停一会，又从 1 变成 0。

当且仅当存在同伦 将 变换为 时，称连续函数 和 是同伦的。同伦是 到 上所有的连续函数之间的一种等价关系:184。以下情形中，同伦关系满足函数的复合：

如果 ₁, ₁ : → 是同伦的，并且 ₂, ₂ : → 是同伦的，则他们的复合 ₂ ∘ ₁ 与 ₂ ∘ ₁ : → 也是同伦的。

：取 ${\displaystyle X=\mathbb{R}}$：取${\displaystyle X=}$的同伦概念。这是指能在不变动该子空间的状况下连续变化，正式定义是：设${\displaystyle f,g:X\to <!--\; \to \; -->Y}$：

同伦等价是个拓扑空间之间的等价关系。许多代数拓扑学里的性质均在同伦等价下不变，包括有：单连通、同调群及上同调群等等。

同痕（Isotopy）是同伦的加细版；我们进一步要求所论的函数${\displaystyle f:X\to <!--\; \to \; -->Y}$映射${\displaystyle H:X\times <!--\; \times \; -->\to <!--\; \to \; -->Y}$使之满足：

同痕的概念在纽结理论中格外重要：若两个结同痕，则我们视之相等；换言之，可以在不使结扯断或相交的条件下彼此连续地变形。