快度

在相对论中，快度通常被用来衡量相对论效应下的速度。在数学上，快度可以被定义成一个双曲角，这个角能够反映两个存在相对运动的参考坐标系之间的差异——它们的时空坐标为洛仑兹变换所联系。

对于一维运动，快度可以简单相加，而速度必须套用爱因斯坦的速度加成式。在低速的情况下，快度和速度是成比例的，但是对于更高速的状况下，快度将增长得更快。特别地，光的速度为光速，而光的快度是无限大。

我们使用反双曲函数artanh来定义快度，当速度为v时，其对应的快度w是w = artanh(v / c)，其中c是光速。速度较慢时，w约为v / c。由于在相对论中，速度v被局限于区间−c < v < c，因此比率v / c将满足−1 < v / c < 1。反双曲正切函数的定义域为(−1, 1)，而值域为整条实数线，所以可以将区间−c < v < c映射到−∞ < w < ∞。

在1908年赫尔曼·闵可夫斯基指出劳伦兹转换可以被简单的转换为坐标时中的双曲旋转（英语：hyperbolic rotation），即为一个虚数角度的旋转。 这个角度在一维空间中可以代表着坐标系间速度的度量，且具有可加性。

1910年，弗拉基米尔·瓦里卡克（英语：Vladimir Varićak）和E. T. 惠特克（英语：E. T. Whittaker）提出用此参数来取代速度的观念。而这个参数被阿尔弗雷德·罗伯（英语：Alfred Robb） (1911)命名为快度，并随后被许多笔者所采用，如卢迪威格·席柏斯坦 (1914)，爱德华·莫雷 (1936)和沃夫冈·润德勒 (2001)。

双曲函数xy=1的求积法（英语：quadrature (mathematics)），是由格雷瓜尔·德·圣-文森特（英语：Gregoire de Saint-Vincent）提出的，他指出双曲扇形的面积、或是一块沿着渐进线所定义出的等效面积，可以用自然对数描述。在时空理论中，类光事件将宇宙分为相对于给定“位置”和“时刻”的“（绝对）过去”、“（绝对）未来”和其他时空点。在空间中的任何一条线上，一道光丛的行进方向可以向左或是向右。将向右行进的光丛事件定为x轴，向左行进的光丛事件定为y轴。则静止坐标系的时间轴即为对角线 = 。而速度可以用第一象限中的直角双曲线 = 1来表示，其中速度为零的点对应到点${\displaystyle (1,1)}$)为)可以被表示为${\displaystyle \mathbf{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}(w)=e^{\mathbf{Z}w}}$_PQ 表示了参考坐标系Q相对于参考坐标系P的快度。与速度加成式相比，这个式子更为简洁。

我们可以从上述的劳伦兹转换看出，劳伦兹因子等同于cosh

因此快度作为一个双曲角，隐含在劳伦兹转换中的γ和β中。我们将快度与速度加成式联系在一起

借由

从而得到

和的乘积时常出现，从先前的讨论可知

固有加速度（一个加速物体实质感受到的加速度）是快度对于固有时间（一个加速物体本身所量测到的时间）的变化率。假想在物体的运动过程中，与加速中的物体保持相对静止的一系列“非物理的”参考系，若在这个非物理的惯性系中非相对论性地计算物体的速度，则计算结果将是这个物体的快度。

由上述的表达式可以得到

因此

或是更加清楚地表示为

相对论性都普勒效应因子与快度的关系为${\displaystyle k=e^w}$是沿着粒子丛方向的动量分量。这是从“实验室参考系”到一个“粒子运动方向与粒子丛方向垂直的参考系”的劳伦兹变换所对应的快度，相关的概念可以参考条目赝快度。