换位子群

✍ dations ◷ 2025-02-23 21:09:31 #抽象代数,群论

在抽象代数中，一个群的换位子群或导群，是指由这个群的所有交换子所生成的子群，记作、或(1) 。每个群都对应着一个确定的交换子群。在一个群的所有正规子群中，交换子群是使得对它的商群为交换群的最小子群。在某种意义上，交换子群提供了群的可交换程度。因为从交换子的定义： $=xyx^{-1}y^{-1}$ ，的交换子群或导群：、或(1) 是的所有交换子所生成的子群：

类似地可以定义高阶的导群。

可以证明，如果存在自然数 n 使得 $G^{(n)}={e}$ 是可解群。

商群 $G/$ 的阿贝尔化子群，通常记作ab。的阿贝尔化子群就是的一阶同调群。

$=G$ $=G$ 的群叫做完美群，这是与阿贝尔群相对的概念。完美群的阿贝尔化子群是单位群{e}。

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