换位子群

✍ dations ◷ 2025-04-03 11:52:10 #抽象代数,群论

在抽象代数中,一个群的换位子群或导群,是指由这个群的所有交换子所生成的子群,记作、或(1) 。每个群都对应着一个确定的交换子群。在一个群的所有正规子群中,交换子群是使得对它的商群为交换群的最小子群。在某种意义上,交换子群提供了群的可交换程度。因为从交换子的定义: = x y x 1 y 1 {\displaystyle =xyx^{-1}y^{-1}} ,的交换子群或导群: 、或(1) 是的所有交换子所生成的子群:


类似地可以定义高阶的导群。

可以证明,如果存在自然数 n 使得 G ( n ) = e {\displaystyle G^{(n)}={e}} 是可解群。

商群 G / {\displaystyle G/} 的阿贝尔化子群,通常记作ab。的阿贝尔化子群就是的一阶同调群。

= G {\displaystyle =G} 的群叫做完美群,这是与阿贝尔群相对的概念。完美群的阿贝尔化子群是单位群{e}。


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