一元二次方程

一元二次方程是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的多项式方程。例如， x 2 − 3 x + 2 = 2 {displaystyle x^{2}-3x+2=2} ， ( 3 − 2 i ) x 2 + 23 − 6 i π x − sin ⁡ 2 = 0 {displaystyle left(3-2iright)x^{2}+{sqrt{23-6i}}x-sin 2=0} ， t 2 − 3 = 0 {displaystyle t^{2}-3=0} 等都是一元二次方程。一元二次方程的一般形式是：古巴比伦留下的陶片显示，在大约公元前2000年（2000 BC）古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。在大约公元前480年，中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根。公元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。7世纪印度的婆罗摩笈多（Brahmagupta）是第一位懂得用使用代数方程，它同时容许有正负数的根。11世纪阿拉伯的花拉子密 独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作Liber embadorum中，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是（引自婆什迦罗第二）：将其转化为数学语言：解关于 x {displaystyle x} 的方程 a x 2 + b x = − c {displaystyle ax^{2}+bx=-c}在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍，即 4 a {displaystyle 4a} ，得阿贝尔指出，任意一元二次方程都可以根据 a {displaystyle a} 、 b {displaystyle b} 、 c {displaystyle c} 三个系数，通过初等代数运算来求解。求得的解也被称为方程的根。一般来说，一元二次方程有两个解，答案需提供两个不同的数值，只要符合 a ≠ 0 {displaystyle aneq 0} 的原则就可以了。把一个一元二次方程变形成一般形式 a x 2 + b x + c = 0 {displaystyle ax^{2}+bx+c=0} 后，如果 a x 2 + b x + c = 0 {displaystyle ax^{2}+bx+c=0} 能够较简便地分解成两个一次因式的乘积，则一般用因式分解来解这个一元二次方程。将方程左边分解成两个一次因式的乘积后（一般可用十字相乘法），分别令每一个因式等于零，可以得到两个一元一次方程。解这两个一元一次方程，得到的两个解都是原方程的解。如果一元二次方程 a x 2 + b x + c = 0 {displaystyle ax^{2}+bx+c=0} 存在两个实根 x 1 , x 2 {displaystyle x_{1},x_{2}} ，那么它可以因式分解为 a ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) = 0 {displaystyle a(x-x_{1})(x-x_{2})=0} 。例如，解一元二次方程 x 2 − 3 x + 2 = 0 {displaystyle x^{2}-3x+2=0} 时，可将原方程左边分解成对于 a x 2 + b x + c = 0 ( a ≠ 0 ) {displaystyle ax^{2}+bx+c=0qquad left(aneq 0right)} ，它的根可以表示为：公式解可以由配方法得出。首先先将一元二次方程的一般形式 a x 2 + b x + c = 0 {displaystyle ax^{2}+bx+c=0} 除以 a {displaystyle a} （ a {displaystyle a} 在一元二次方程中不为零），将会得到当 2 x y = b a x {displaystyle 2xy={frac {b}{a}}x} 时得到公式解终于出现了：一元二次方程的求根公式在方程的系数为有理数、实数、复数或是任意数域中适用。一元二次方程中的判别式对于实系数一元二次方程 a x 2 + b x + c = 0 ( 0 ) {displaystyle ax^{2}+bx+c=0left(0right)} ， Δ = b 2 − 4 a c {displaystyle Delta =b^{2}-4ac} 称作一元二次方程根的判别式。根据判别式，一元二次方程的根有三种可能的情况：即系数为非实数时的一元二次方程，将系数扩展到复数域内，此时要注意根的判别式不适用于非实系数一元二次方程。根据韦达定理可以找出一元二次方程的根与方程中系数的关系。一元二次方程 a x 2 + b x + c = 0 {displaystyle ax^{2}+bx+c=0} 的根的几何意义是二次函数 y = a x 2 + b x + c {displaystyle y=ax^{2}+bx+c} 的图像（为一条抛物线）与 x {displaystyle x} 轴交点的x坐标。另外一种解法是把一元二次方程 a x 2 + b x + c = 0 {displaystyle ax^{2}+bx+c=0} 化为 x 2 = − b a x − c a {displaystyle x^{2}=-{frac {b}{a}}x-{frac {c}{a}}} 的形式。则方程 a x 2 + b x + c = 0 {displaystyle ax^{2}+bx+c=0} 的根，就是函数 y = x 2 {displaystyle y=x^{2}} 和 y = − b a x − c a {displaystyle y=-{frac {b}{a}}x-{frac {c}{a}}} 交点的X坐标。通过作图，可以得到一元二次方程根的近似值。在使用计算机解一元二次方程时，跟人手工计算相似，大部分情况下也是根据下面的公式去解