代数

代数是一个较为基础的数学分支。它的研究对象有许多。诸如数、数量、代数式、关系、方程理论、代数结构等等都是代数学的研究对象。初等代数一般在中学时讲授，介绍代数的基本思想：研究当我们对数字作加法或乘法时会发生什么，以及了解变量的概念和如何建立多项式并找出它们的根。代数的研究对象不仅是数字，还有各种抽象化的结构。例如整数集作为一个带有加法、乘法和序关系的集合就是一个代数结构。在其中我们只关心各种关系及其性质，而对于“数本身是什么”这样的问题并不关心。常见的代数结构类型有群、环、域、模、线性空间等。并且,代数是几何的总称，代数是还可以用任何字母代替的。代数的起源可以追溯到古巴比伦的时代，当时的人们发展出了较之前更进步的算术系统，使其能以代数的方法来做计算。经由此系统的被使用，他们能够列出含有未知数的方程并求解，这些问题在今日一般是使用线性方程、二次方程和不定线性方程等方法来解答的。相对地，这一时期大多数的埃及人及公元前1世纪大多数的印度、希腊和中国等数学家则一般是以几何方法来解答此类问题的，如在莱因德数学纸草书、绳法经、几何原本及九章算术等书中所描述的一般。希腊在几何上的工作，以几何原本为其经典，提供了一个将解特定问题解答的公式广义化成描述及解答方程之更一般的系统之架构。代数（algebra）导源于阿拉伯语单字“al-jabr”，其出自 al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala这本书的书名上，意指移项和合并同类项之计算的摘要，其为波斯回教数学家花拉子米于820年所著。Al-Jabr此词的意思为“重聚”。传统上，希腊数学家丢番图被认为是“代数之父”，但现在则有着花拉子米是否应该从丢番图中取得此称号的争议。支持花拉子米的人指出其对于约化的成果到今日都还有用途，且他更给出了一个解答二次方程的一详尽说明。而支持丢番图的人则主张在Al-Jabr里出现的代数比在Arithmetica里出现的更为基本，且Arithmetica是简字的而Al-Jabr却完全是文辞的。另一位波斯数学家欧玛尔·海亚姆发展出代数几何出，且找出了三次方程的一般几何解法。印度数学家摩诃吠罗和婆什迦罗与中国数学家朱世杰解出了许多三次、四次、五次及更高次多项式方程的解了。代数更进一步发展的另一个关键事件在于三次及四次方程的一般代数解，其发展于16世纪中叶。行列式的概念发展于17世纪的日本数学家关孝和手中，并于十年后由莱布尼茨继续发展着，其目的是为了以矩阵来解出线性方程组的答案来。加布里尔·克拉默也在18世纪时在矩阵和行列式上做了一样的工作。抽象代数的发展始于19世纪，一开始专注在今日称为伽罗瓦理论及规矩数的问题上。符号代数发展的阶段可大致区分如下：代数数个关键的发展的时间轴，表述如下：初等代数是代数中最基本的一种类型。其教导对象为假定不具有对算术基本原则之类的数学知识之学生。虽然在算术里，只有数和其算术运算（如加减乘除）会出现，在代数，数则通常会以符号（如 a {displaystyle a} 、 x {displaystyle x} 、 y {displaystyle y} 等）来标记。这是很有用的，因为：抽象代数将基本代数和数的算术中的一些相似概念延广成更一般的概念。集合：不单只考量数的不同类型，抽象代数处理更为一般的概念－集合：一群称为元素之对象的聚集。所有相似类型的数都是一种集合。另一些集合的例子有所有两阶方阵组成之集合、所有两次多项式组成的集合、所有平面的二维向量所组之集合、及如如整数同余 n {displaystyle n} 的群之循环群等各种有限群。集合论是逻辑的一个分支且技术上不属于代数的一种分支。二元运算：加法 + {displaystyle +} 的概念被抽象化成了一种二元运算，称之为*。对于在集合 S {displaystyle S} 内的两个元素 a {displaystyle a} 和 b , a ∗ b {displaystyle b,a*b} 会给出集合内的另一个元素（技术上，此条件称之为封闭性）。加法 + {displaystyle +} 、减法 − {displaystyle -} 、乘法 × {displaystyle times } 和除法 ÷ {displaystyle div } 都是二元运算，且矩阵、向量及多项式等之加法和乘法也是二元运算。单位元：零和一两个数被抽象化成单位元的概念。零是加法的单位元而一则是乘法的单位元。对于一任意的二元运算*，单位元 e {displaystyle e} 必须得满足 a ∗ e = a {displaystyle a*e=a} 和 e ∗ a = a {displaystyle e*a=a} 两个条件。其在加法中为 a + 0 = a {displaystyle a+0=a} 和 0 + a = a {displaystyle 0+a=a} ，而在乘法中则为 a × 1 = a {displaystyle atimes 1=a} 和 1 × a = a {displaystyle 1times a=a} 。但若取正自然数和加法，则其不存在有单位元。逆元素：负数导致出了逆元素的概念。对加法而言， a {displaystyle a} 的逆元素为 − a {displaystyle -a} ，而对乘法而言，其逆元素则为 1 / a {displaystyle 1/a} 。一通常之逆元素 a − 1 {displaystyle a^{-1}} 必须满足 a ∗ a − 1 = e {displaystyle a*a^{-1}=e} 和 a − 1 ∗ a = e {displaystyle a^{-1}*a=e} 之性质。结合律：整数的加法有一称为结合律的性质。亦即，数相加的顺序不影响其总和。例如： ( 2 + 3 ) + 4 = 2 + ( 3 + 4 ) {displaystyle left(2+3right)+4=2+left(3+4right)} 。一般化地，其可以被写成 ( a ∗ b ) ∗ c = a ∗ ( b ∗ c ) {displaystyle (a*b)*c=a*(b*c)} 。此一性质在大多数的二元运算中存在着，但不包括减法和除法。交换律：整数的加法有一称为交换律的性质。亦即，数被加的顺序不影响其总和。例如： 2 + 3 = 3 + 2 {displaystyle 2+3=3+2} 。一般化地，其可以被写成 a ∗ b = b ∗ a {displaystyle a*b=b*a} 。只有一些二元运算拥有此一性质。其在整数的加法和乘法上成立，但在矩阵乘法上则不成立。结合上面的概念可给出在数学中最重要的结构之一：群。群为一个集合 S {displaystyle S} 和一二元运算*之结合，使其可有如下性质：若一群亦为可交换的－即对任两个于 S {displaystyle S} 内的元素 a {displaystyle a} 和 b , a ∗ b {displaystyle b,a*b} 会等同于b*a－则此群称为阿贝尔群。例如，加法的运算下之整数集合为一个群。在此一群中，其单位元是 0 {displaystyle 0} 且其任一元素 a {displaystyle a} 的逆元素为其负数 − a {displaystyle -a} 。其有关结合律的要求亦是吻合的，因为对任何整数 a {displaystyle a} 、b和 c {displaystyle c} ， ( a + b ) + c = a + ( b + c ) {displaystyle left(a+bright)+c=a+left(b+cright)} 。非零有理数会形成一个于乘法下的群。在此，其单位元为 1 {displaystyle 1} ，当对于任一有理数 a {displaystyle a} ， 1 × a = a × 1 = a {displaystyle 1times a=atimes 1=a} 。 a {displaystyle a} 的逆元素为 1 / a {displaystyle 1/a} ，当 a × 1 / a = 1 {displaystyle atimes 1/a=1} 。但无论如何，于乘法运算下的整数不会形成一个群。这是因此一整数的乘法逆元通常不会是一个整数。例如， 4 {displaystyle 4} 是一个整数，但其乘法逆元为 1 / 4 {displaystyle 1/4} ，不为一个整数。群的理论被学习于群论中。此一理论的一主要成果为有限简单群分类，主要发表于 1955 {displaystyle 1955} 年至 1983 {displaystyle 1983} 年之间，其目的在于将所有的有限简单群分类至约 30 {displaystyle 30} 种的基本类型中。半群、拟群和幺半群是类似于群的结构，但更具一般性。它们由一个集合和一个封闭二元运算所组成，但不必然满足其他条件。半群有一结合二元运算，但没有单位元。幺半群是一有单位元但可能没有每个元素之逆元素的半群。拟群满足任一元素皆以一唯一的前或后运算转换成另一元素，但此一二元运算可能不具结合律。所有的群都是幺半群，且所有的幺半群都是半群。群只有一个二元运算。但为了完整说明不同类型的数之行为，具两个运算子的结构是需要的。其中最重要的为环和体。分配律广义化了数中的分配律，且要求其运算子运算时应采之顺序（称为优先权）。对于整数而言， ( a + b ) × c = a × c + b × c {displaystyle (a+b)times c=atimes c+btimes c} 且 c × ( a + b ) = c × a + c × b {displaystyle ctimes (a+b)=ctimes a+ctimes b} ，而且 × {displaystyle times } 称之此于+上是可分配的。环有两个二元运算 + {displaystyle +} 和 × {displaystyle times } ，其中 × {displaystyle times } 于 + {displaystyle +} 上是可分配的。在第一个运算 + {displaystyle +} 下，它会形成一个阿贝尔群。而在第二个运算 × {displaystyle times } 下，其为结合的，但不需要有一单位元或逆元素，所以除法是不被允许的。其加法 + {displaystyle +} 单位元写成 0 {displaystyle 0} ，而其 a {displaystyle a} 的加法逆元则写成 − a {displaystyle -a} 。整数是环的一个例子。其有使其为一整环的额外性质。体是一具有在运算 × {displaystyle times } 下，除了 0 {displaystyle 0} 的所有元素会形成一阿贝尔群之额外性质的环。其乘法 × {displaystyle times } 单位元写成 1 {displaystyle 1} ，而其 a {displaystyle a} 的乘法逆元则写成 a − 1 {displaystyle a^{-1}} 。有理数、实数和复数都是体的例子。代数一词亦可用来称呼不同的代数结构，包含有：