复合函数

复合函数（英语：Function composition），又称作合成函数，在数学中是指逐点地把一个函数作用于另一个函数的结果，所得到的第三个函数。例如，函数  : → 和  : → 可以复合，得到从 中的 映射到 中 (()) 的函数。直观来说，如果 是 的函数， 是 的函数，那么 是 的函数。得到的复合函数记作  ∘  : → ，定义为对 中的所有 ，( ∘  )() = (())。 直观地说，复合两个函数是把两个函数链接在一起的过程，内函数的输出就是外函数的输入。

函数的复合是关系复合的一个特例，因此复合关系的所有性质也适用于函数的复合。 复合函数还有一些其他性质。

考虑到函数的值域跟定义域，要简单的以"计算式"，如把所有 ${\displaystyle (x,x+1)}$: → , : → ，定义域与到达域相同；这些函数一般称作变换。于是，我们可以构造多个变换复合而成的链，比如 ∘ ∘ ∘ 。这种链具有幺半群的代数结构，称作变换幺半群或者复合幺半群。通常，变换幺半群可以具有非常复杂的结构。一个很有名的例子是德拉姆曲线。所有函数 : → 的集合称作 上的全变换半群或对称半群。（我们其实可以定义两个半群，这取决于定义半群运算为函数左复合和右复合的方式。）

如果变换是双射（也就可逆），则这些函数所有可能的组合就构成了一个变换群；可以说这个群是由这些函数生成的。这就引出了群论里面的凯莱定理从本质上表明，（在同构意义下）任何群都是某一置换群的子群。

所有双射函数 : → （称作置换）的集合构成了一个关于复合算子的群。这就是对称群，有时称作复合群。

在（所有变换的）对称半群中，我们还可以发现一个较弱的、非唯一的逆变换（称作伪逆），因为对称子群是一个正则半群。

如果 ⊆ ，则 : → 有可能可以与自身复合；这有时候记作 2。即：

更一般地，对于 ≥ 2 的自然数， 次函数幂可以归纳定义为   = ∘  −1 =  −1 ∘ . 这种函数与自身的反复复合称作迭代函数。

注意：若 在一个环内取值（特别是对于实值或复值），存在混淆的风险，因为   也可以表示 的 次乘积，比如  2() = () · (). 对于三角函数，通常会使用后者的含义，至少对于正指数是这样。例如，在三角学中，使用三角函数 sin2() = sin() · sin() 的时候，这个上标记号表示标准的指数运算。不过，对于负指数（特别是 −1），则通常指的是反函数，例如，tan−1 = arctan ≠ 1/tan.

在一些情况下，对于给定函数 ，方程 ∘ = 只有一个解 的时候，该函数可以定义为 的函数平方根，记作 =  1/2.

更一般地，当 = 只有唯一解时（自然数 > 0）， /可以定义为 .

在额外的限制下，这个想法还可以推广，使得迭代函数可以是一个连续的参数；在此情形下，这样的系统称作流，由施罗德方程定义。迭代函数和流很自然地出现在分形和动力系统的研究中。

为避免混淆，有些数学家把 的 次迭代写作 °.

许多数学家，特别是群论方面的数学家，省去复合符号，把 ∘ 写作 .

在20世纪中叶，一些数学家认为用“ ∘  ”来表示“首先施加 ，然后施加 ”太令人困惑，于是决定改变记法。他们用“”来代表“()”，用“()”来代表“(())”。 这在某些领域会比函数写在左面更加自然和简便—比如在线性代数中，当 为行向量， 和 表示矩阵，而复合是通过矩阵乘法完成的时候。这种替代记法称作后缀表示法。顺序很重要，因为函数复合不一定是可交换的（比如矩阵乘法）。向右进行施加函数和复合的写法复合从左到右的阅读顺序。

使用后缀表示法的数学家可能会写“”，表示先施加 再施加 ，这样就能与后缀表示法中的符号的顺序保持一致，不过这就会让“”这个记号有歧义了。计算机科学家可能用  ; 来表示 ，这样就能区分出复合的顺序了。要把左复合算子和文本分好区分开来，在Z表示法（Z notation）中 ⨾ 字符用于左关系复合。 由于所有函数都是二元关系，在函数复合中也应该用分号（参见 关系复合条目了解此记法的详细内容）。

给定函数 ，复合算子 定义为使得

的从函数映射到函数的算子。在算子理论领域会研究复合算子。

对于多元函数来说，部分复合是有可能的。当函数 的部分参数 由 换掉后得到的结果在一些计算机工程文献中，记作 | ₌

当 是一个常数 时，复合退化为一个（部分）求值，其结果就会是限制或者辅因子。

通常，多元函数的复合可能涉及若干其他函数作为参数，如原始递归函数的定义。给定 ，一个 元函数， 个 元函数 ₁, ..., ， 与 ₁, ..., 的复合是 元函数

这有时称作 与 ₁, ..., 的广义复合。 在这个一般化的情形中，可以通过把所有这些用作参数的函数合适地选为射影函数，只保留一个参数函数，就能得到前面提到的只有一个参数部分复合的函数。还要注意，在这个一般化情形中，₁, ..., 可以看作是单个向量或元组值函数，这样理解的话，这就是复合函数的标准定义。

某些基本集 上的一些有限性运算称作克隆，它们需要包含所有射影，并且在广义复合下封闭。请注意，克隆通常包含各种元数（arity）的运算。 交换的概念在多元情形中叶有一个有意思的推广：如果元数 的函数 是保持 的同态函数（ 的元数为 ），则可以说 与 是可交换的，反之亦然。例如：

一元运算总是与自己可交换，但二元（或者更多元）运算不一定如此。与自身可交换的二元（或更多元）运算称为medial或entropic。

复合可以推广到任意二元关系。若 ⊆ × 与 ⊆ × 是两个二元关系，则它们的复合 ∘ 是定义为 {(, ) ∈ ×  : ∃ ∈ . (, ) ∈ ∧ (, ) ∈ }. 考虑二元关系的一个特殊情形（函数关系），复合函数满足关系复合的定义。

偏函数的复合可是用相同方式定义的定义，有一个类似凯莱定理（Cayley's theorem）的定理叫做Wagner-Preston定理。

具有态射函数的集合范畴叫做原型范畴（prototypical category）。范畴的公理实际上受到了复合函数的性质（和定义）启发。 由复合形成的结构在范畴论中被公理化和推广，函数的概念换成了范畴论中的态射。公式 ( ∘ )−1 = (−1 ∘  −1) 中的反序复合，同样适用于使用逆关系的关系复合，因此在群论中也适用。这些结构形成了dagger范畴。

复合算子 ∘  编码为U+2218 ∘ RING OPERATOR ，HTML：∘。参见Degree symbol条目中外观类似的Unicode字符。在TeX中，写作circ。