海盗博弈

✍ dations ◷ 2025-07-31 10:28:22 #海盗博弈

海盗博弈或强盗分金问题是一个简单的数学博弈。该博弈描述了如果遵循经济人的行为,结果可能与常人的直觉相悖。这也是最后通牒赛局的多参与者版本。

有五个理性的海盗,A, B, C, D和E,找到了100个金币,需要想办法分配金币。

海盗们有严格的等级制度:A比B职位高,B比C高,C比D高,D比E高。

海盗世界的分配原则是:等级最高的海盗提出一种分配方案。所有的海盗投票决定是否接受分配,包括提议人。并且在票数相同的情况下,提议人有决定权。如果提议通过,那么海盗们按照提议分配金币。如果没有通过,那么提议人将被扔出船外,然后由下一个最高职位的海盗提出新的分配方案。

海盗们基于三个因素来做决定。首先,要能存活下来。其次,自己得到的利益最大化。最后,在所有其他条件相同的情况下,优先选择把别人扔出船外。

直觉上认为,A海盗会给自己分配很少,以避免被扔出船外。然而这和理论结果相差甚远。

让我们反过来看:如果只剩下D和E,D给自己100个金币,给E 0个。因为D有决定权,所以分配达成。

如果剩下三个人(C,D和E),C知道D下轮会给E 0个金币,所以C这轮给E 1个金币,让E支持自己以使得提议通过。因此如果剩下三个人,结果是C:99,D:0,E:1。

如果B, C, D 和 E 剩下, B 知道上述结果。所以为了避免被扔出去,他只需要给D 1个金币,因为他有决定权,只需要D的支持就足够了。因此他会提议 B:99, C:0, D:1,E:0。有人可能想到提议B:99, C:0, D:0,E:1,因为E知道即使把B扔出去,也不会得到更多了。但由于海盗会优先把别人扔出去,所以E会选择杀死B,然后仍然可以从C的提议中得到相同金币。(若要让E同意他,就至少要给他2个金币才行,这样并不划算,因为这样B自己只能得到98金币,所以不用浪费金币给E)

假设A知道所有的一切,他就能选择让C和E来支持他,提议变成:

同样的 A:98,B:0,C:0,D:1,E:1 或者其他的提议都不是最好的,因为D会选择把A扔出去,然后从B那里得到相同的金币。(若要让D同意他,就至少要给他2个金币才行,这样并不划算,因为这样A自己只能得到97金币,所以不用浪费金币给D)

该博弈能很容易延伸到200个海盗(如果有更多金币,甚至可以更多)。艾恩·史都华在1999年5月期的《科学美国人》中,将该博弈延伸到任意人数的海盗,得到十分有趣的结果。

设共有N个海盗,等级最低的海盗为1号,其次为2号,依此类推,等级最高的是N号,若N ≤ 200,则N号海盗的分配法为:自己 202 N 2 {\displaystyle \left\lfloor {\frac {202-N}{2}}\right\rfloor } 个金币,其余海盗中,编号和N的奇偶性相同者每人各1枚金币,奇偶性不同的,什么也得不到。

201号海盗必须要有101票才能通过,他没有办法,只能自己不拿金币,而给1~199号中奇数号的海盗每人各1枚金币,这样他以及1~199号中的奇数号会投赞成票,这样就刚好101票,提案即可通过。

202号与201号类似,自己不拿金币,而给2~200号中的偶数号每人各1枚。

到了203号,情况第一次有了一百八十度的大转弯,因为他需要102票,但是他没有足够的金币去收买101人,无法通过。

204号则较幸运,因为203号知道他唯有支持204号才能保命,所以204号可以给1~199号中奇数号的海盗每人各1枚金币,因为他知道,203号虽然一无所获但还是会投赞成票,再加上自己一票以及1~199号中奇数号的100票,就达成了102票的条件,所以他的提案就可以通过。

205号就没那么走运了,他不能指望203号与204号支持他,所以没法通过。

206号也是一样,因为他需要103票才能通过,所以就算205号会支持他,还是差1票。

207号则需要104票,但是他最多也只能得到103票(他自己、205号和206号、以及1~200号中的100人),所以也不能通过。

208号则又时来运转,他可以给2~200号中的偶数号每人各1枚,这样他们会同意他,同时他自己跟205, 206, 207号也会投赞成票,刚好104票可通过。

此时,我们继续分析,可以得到一个新的序列:201, 202, 204, 208, 216, 232, 264, 328, 456, 712, 1224, ... ,这些编号的海盗能够存活,他们依次要分给1~200中的奇数、偶数、奇数、偶数、奇数、偶数、 ...号每人各1枚金币。所以当有1500位海盗时,前276名等级最高的海盗必死无疑。轮到1224号海盗时,他可以只分给1~199号中奇数号的海盗每人各1枚金币,而其余的海盗什么也得不到。

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