双曲群

✍ dations ◷ 2025-07-24 04:04:07 #群论,几何群论,度量几何

数学的几何群论上,双曲群是指一种带有度量的群,符合双曲几何的某些性质。双曲群是米哈伊尔·格罗莫夫于1980年代初所创的概念。

群上的一个度量称为左不变度量,如果群中任何两个元素,被另外任一个元素左乘后,其间的距离仍保持不变。如果一个群有一个左不变度量,使得这个群按度量空间而言,是一个格罗莫夫双曲空间,就称之为双曲群。

双曲群中以字双曲群最为常见。提到双曲群时,通常就是指字双曲群。一个有限生成群称为字双曲群(word hyperbolic group),如果群中有由某有限生成集赋予的字度量,令其成为格罗莫夫双曲空间。换言之,取群中一个有限生成集合,将对应的凯莱图每条边长都定为1,那么这个凯莱图是格罗莫夫双曲空间。只要有对应某个有限生成集合的字度量有此性质,那么对应任何有限生成集合的字度量,都会有相同性质。这是因为对应各个有限生成集合的字度量,都是拟等距同构的,而格罗莫夫双曲性,在拟等距映射下不变。


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